อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper
2.3 ให้ $a,b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริง จงแสดงว่าระบบสมการต่อไปนี้สมมูลกัน
\(\cases{a^2+b^2&=&2\\c^2+d^2&=&2\\ac&=&bd}\) $\ \ \ $ และ $\ \ \ $ \(\cases{a^2+c^2&=&2\\b^2+d^2&=&2\\ab&=&cd}\)
|
มาทำต่อนะครับ ว่างช่วง covid-19
จากระบบสมการแรกนะครับ
$a^2+b^2=2$ -----(1)
$c^2+d^2=2$ -----(2)
$\ \ \ \ \ \ ac=bd$ -----(3)
(1)+(2) : $$a^2+b^2+c^2+d^2=4$$
$$(a+c)^2+(b+d)^2=4+4ac , 4+4bd$$
กรณีที่ 1 $(a+c)^2=4ac$ และ $(b+d)^2=4$
จะได้ว่า $a=c$ และ $b+d=\pm 2$
$\therefore a=c=\pm 1, b=d=\pm 1$
กรณีที่ 2 $(a+c)^2=4$ และ $(b+d)^2=4bd$
จะได้ว่า $a+c=\pm 2$ และ $b=d$
$\therefore a=c=\pm 1, b=d=\pm 1$
กรณีที่ 3 $(a+c)^2=4+4ac$ และ $(b+d)^2=0$
จะได้ว่า $a-c=\pm 2$ และ $b=-d$
$\therefore a=-c=\pm 1, b=-d=\pm 1$
จากทั้งสามกรณีทำให้ได้
ชุดคำตอบ $(a,b,c,d)$ ทั้งหมดของระบบสมการคือ $(1,1,1,1) , (1,-1,1,-1) , (-1,1,-1,1) , (-1,-1,-1,-1) , (1,1.-1,-1) , (1,-1,-1,1) , (-1,1,1,-1) , (-1,-1,1,1)$
ด้วยวิธีการเดียวกันนี้ จะได้ชุดคำตอบของระบบสมการที่สอง เป็นชุดคำตอบเดียวกันกับระบบสมการแรก
ดังนั้น ระบบสมการนี้ สมมูลกัน
