1. วิธี ม.ปลาย แบ่งเป็นกรณีต่าง ๆ คือ
คี่ 1 (คู่14) , คี่ 3 (คู่ 12), คี่ 5, ... , คี่ 15
เลือกได้ $3\binom{15}{1} + 3^3\binom{15}{3} + ...+3^{15}\binom{15}{15}$ วิธี
ซึ่งคำนวณได้จากการกระจายทวินามของ $\frac{1}{2}((1+3)^{15}-(1-3)^{15})$
ตอบ ข้อ ข.ครับ.
2. วิธีเกินม.ปลาย ใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด
นิยาม
ให้ $a_{n}$ แทน จำนวนวิธีที่ผลบวกจำนวนที่เลือกมา n ตัว เป็นจำนวนคี่
ให้ $b_{n}$ แทน จำนวนวิธีที่ผลบวกจำนวนที่เลือกมา n ตัว เป็นจำนวนคู่
ถ้าคนแรกที่เลือกเป็นจำนวนคี่ แล้ว n-1 ตัวที่เหลือต้องมีผลบวกเป็นจำนวนคู่ ซึ่งมี $3b_{n-1}$ วิธี
ถ้าคนแรกที่เลือกเป็นจำนวนคู่ แล้ว n-1 ตัวที่เหลือต้องมีผลบวกเป็นจำนวนคี่ ซึ่งมี $a_{n-1}$ วิธี
ดังนั้น $a_n = 3b_{n-1}+a_{n-1}$ โดยที่ $a_1=3$ และ $a_n+b_n=4^n$
จัดรูปได้เป็น $a_n+2a_{n-1} = 3\cdot 4^{n-1} , a_1=3, a_0=0$ เป็นความสัมพันธ์เวียนเกิด
ให้ $y= a_0+a_1x+a_2x^2 + ... $ ดังนั้นจากความสัมพันธ์เวียนเกิด
$a_n+2a_{n-1} = 3\cdot 4^{n-1}$
เราได้ $y-a_0+2xy = \frac{3x}{1-4x} \Rightarrow y = \frac{3x}{(1-4x)(1+2x)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{1-4x} - \frac{1}{1+2x})$
จึงได้ว่า $a_n = \frac{1}{2}(4^n - (-2)^n)$ เป็นสูตรทั่วไปครับ.
