[Beatmania]

สมมติว่ามี $Q(x),R(x)\in \mathbb{Z}[x]$ ที่เป็นพหุนามไม่คงตัวที่ทำให้ $P(x)=Q(x)R(x)$

กำหนดให้ $Q(x)=O_1(x)+E_1(x)$ โดย $O_1,E_1$ เป็นพหุนามที่มีเฉพาะพจน์ที่กำลังคู่และคี่ ตามลำดับ

และ $R(x)=O_2(x)+E_2(x)$ โดย $O_2,E_2$ เป็นพหุนามที่มีเฉพาะพจน์ที่กำลังคู่และคี่ ตามลำดับ

สังเกตว่า $i,2i,...,10i,-i,-2i,...,-10i$ เป็นรากของสมการ $P(x)=1$

และนอกจากนี้ สำหรับทุกๆ พหุนาม $A(x)\in \mathbb{Z}[x]$ และจำนวนเต็ม $n$ จะได้ว่า

$$Re[A(in)],Im[A(in)]\in\mathbb{Z}$$

Claim: ถ้าหาก $a,b,c,d$ เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ $(a+bi)(c+di)=1$ แล้วเราจะได้ว่า $a=c$ และ $ิb+d=0$

พิสูจน์ Claim: เราได้ว่า $|a+bi||c+di|=1$ นั่นคือ $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=1$

ทำให้ได้ว่า $a^2+b^2=c^2+d^2=1$ เช็กเคส แยกกรณี จะได้ว่า $(a+bi,c+di)=(1,1),(-1,-1),(i,-i),(-i,i)$

เห็นได้ว่า ไม่ว่ากรณีใดก็ตาม $a=c$ และ $ิb+d=0$ เสมอ #

กลับมาที่โจทย์ เราได้ว่า $\forall k=1,2,...,10$ $P(ki)=1$ และ $P(-ki)=1$

จาก Claim ทำให้ได้ว่า $\forall k=-10,...,-2,-1,1,2,...,10$ $O_1(ki)+O_2(ki)=0$ และ $E_1(ki)=E_2(ki)$

พิจารณา $\delta(x)=E_1(x)-E_2(x)$ เราได้ว่าถ้าหาก $\delta(x)\neq 0$

$$deg[\delta(x)]\leq max[deg[E_1(x),E_2(x)]]\leq 19$$

แต่ทว่า เรามีจำนวนเชิงซ้อนอย่างน้อย 20 ตัวที่ทำให้ $\delta(x)=0$

ขัดแย้งกับที่สมมติว่า $\delta(x)\neq 0$ ดังนั้น $\delta(x)=0$ หรือก็คือ $E_1(x)=E_2(x)$

พิจารณาในทำนองเดียวกันกับ $O(x)=O_1[x]+O_2[x]$ เราได้ว่า $O_1[x]=-O_2[x]=O_2[x]$

ทำให้ได้ว่า $Q(x)=O_1(x)+E_1(x)=-O_2(x)+E_2(x)=O_2(-x)+E_2(-x)=R(-x)$

ได้ว่า $P(x)=Q(x)R(x)=R(-x)R(x)$

ทำให้ได้ว่า $P(0)=R(0)^2$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ แต่ทว่า $P(0)=(10!)^2+1$ ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์

ดังนั้นจึงไม่มีพหุนาม $Q(x),R(x)\in \mathbb{Z}[x]$ ที่เป็นพหุนามไม่คงตัวที่ทำให้ $P(x)=Q(x)R(x)$