[Beatmania]

Brief Solution

1

$A,B,C,Q$ cyclic

2

Cauchy, $f(1)+2f(2)+2f(3)+...+2f(M)+f(M+1)\leq (M+1)(M+2)-3$

3

ให้ $i\in Im[f]$ แสดงให้ได้ว่า $3i,7i,15i\in Im[f]$ สุดท้ายได้ว่า $i=0$

4

พิจารณาจุดสองจุดที่มีสีเดียวกัน วาดวงกลมและดูห้าเหลี่ยมด้านเท่าที่แนบในวงกลมนั้น

5

สมมติว่า $q_{k+1}$ เป็นจำนวนเฉพาะจำนวนแรกที่ไม่ปรากฏ พิจารณา $n$ มากพอที่ทำให้ $q_1,q_2,...,q_k$ ปรากฏในลำดับ

6

1.$m^n-1$ เป็น prime แล้ว $n$ เป็น prime

2.$2^x+1$ เป็น prime แล้ว $n$ เป็น power of two

7

พิจารณา $P(-1),P(1)$ พิสูจน์ว่าเครื่องหมายต่างกัน

8

พิสูจน์ $ZA$ ตั้งฉาก $XY$ + $AMIN$ เป็นขนมเปียกปูน

9

แยกพิจารณา $a>0,a<0$
$a>0$ จะได้ว่ามี $t$ ที่ $f(t)=0$
$a<0$ พิจารณา $P(x+1,1),f(1)P(x,1),P(x,2),P(1,1)$

10

ให้ S($A_i$) คือ จำนวนโดมิโนที่นำมาต่อกับ $A_i$ ได้

S($i$-B) คือจำนวนของโดมิโนที่มีหมายเลข $i$ และมีสีฟ้า

S($i$-Y) คือจำนวนของโดมิโนที่มีหมายเลข $i$ และมีสีเหลือง

จะได้ว่า

$$\sum_{i=1}^{2559} S(A_i)= \sum_{i=1}^{2559} S(i-B)^2+S(i-Y)^2$$