ข้อ 5 วันแรก ผมได้ 4332 ครับ. เลขสวยทีเดียว แต่ไม่รู้ว่าถูกหรือเปล่า ใครมีเฉลยช่วยดูที
ผมเข้าใจปัญหาถูกหรือเปล่า ช่วยดูทีนะครับ.
\(\fbox{โยนลูกเต๋าลูกหนึ่ง 6 ครั้งจงหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่ทำให้แต้มรวมเท่ากับ 21
} \)
จำนวนวิธี ดังกล่าวจะได้จากจำนวนคำตอบของสมการ \(a+b+c+d+e+f=21 \quad , 1 \leq a, b, c, d, e, f \leq 6 \)
สมมติให้ฟังก์ชันก่อกำเนิด \(G(x) = (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^6 \)
ส.ป.ส ของ x
21 จะคือคำตอบนั่นเอง (ถูกเปล่าหว่า
)
\(G(x) = x^6(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^6 = x^6(1-x^6)^6(1-x)^{-6} \)
ถ้าให้ \(F(x) = (1-x^6)^6 = \Sigma f_n x^n \quad , H(x) = (1-x)^{-6} = \Sigma h_n x^n \)
จะได้ว่า ส.ป.ส ของ x
21 ใน G(x) จะคือ ส.ป.ส ของ x
15 ใน [ F(x) ] [ H(x) ] นั่นเอง
พิจารณา ส.ป.ส ของ x
15 ใน \(F(x)H(x) = \Sigma f_n h_{15 - n} \)
\(f_n = {6 \choose \frac{n}{6}} \quad , n = 0, 6, 12, \cdots \)
\(h_n = {6+n-1 \choose n} \)
\(\Sigma f_n h_{15 - n} = f_0h_{15} + f_6h_9 + f_{12}h_3 = {6 \choose 0}{20 \choose 15} - {6 \choose 1}{14 \choose 9} + {6 \choose 2}{8 \choose 3} = 4332 \)