อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by
วิธี rule out กรณี odd prime ทั้งคู่
ถ้า p,q both odd primes ,
จากสมการ แสดงว่า $ p^2 | q^3+1$ และ $ q^2 | p^3+1$
เห็นได้ชัดว่า p,q ไม่เท่ากัน
By symmetry , WLOG p < q ดังนั้น $ q \geq p+2$ (by both odd primes) ....(*)
จาก $ q^2 | p^3+1 = (p+1)(p^2-p+1)$
แต่ (*) implies $ q\nmid p+1 $
แสดงว่า $ q^2 | p^2-p+1 \Rightarrow (p+2)^2 \leq q^2 \leq p^2-p+1 $ เป็นไปไม่ได้ที่ซ้ายสุดน้อยกว่าขวาสุด
ดังนั้น ต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเป็น even ซึ่งนั่นคือ p or q = 2
|
ขอบคุณทุกๆท่านมากครับ ที่ช่วยแชร์ความรู้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งคุณ passer-by
ผมขออนุญาตเรียนถามคุณ passer-by ว่า จากบรรทัดสีแดง เราสรุปเลยได้ไหมครับว่า
ไม่มีจำนวนคี่คู่ใดๆ นอกจาก (1,1) แล้ว ที่สนับสนุนสมการแล้วน่ะครับ