[PP_nine]

จะต่อก็ไม่ยากมากนี่ครับ ถ้าถึงขั้น $f(f(y))=y$ แล้ว และเป็น bijection ด้วย (ไม่จำเป็นต้องใช้)

จาก $f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y$

แทน $x$ ด้วย $f(x)$ ก็จะได้ $f(xf(x)+f(y))=x^2+y$

ดังนั้น $f(x)^2=x^2$

ที่เหลือก็แค่พิสูจน์ว่าไม่มีจำนวนจริง a,b ต่างกันซึ่งเกิดกรณีที่ $f(a)=a$ และ $f(b)=-b$

แต่เป็น $f(x)=x$ เสมอ ไม่เช่นนั้นก็ $f(x)=-x$ เท่านั้น

(พิสูจน์ไม่ยากครับ ลองทำดูก่อน)