11.
$\begin{array}{rcl} \displaystyle{ \frac{n^2 + 2n + 3}{n^4 + 6n^3+11n^2+6n} } & = & \displaystyle{\frac{n(n+1) + (n+3)}{n(n+1)(n+2)(n+3)}} \\ & = & \displaystyle{ \frac{1}{(n+2)(n+3)} + \frac{1}{n} \big( \frac{1}{(n+1)(n+2)} \big) } \\ & = & \displaystyle{\frac{1}{2} \big( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \big) - \frac{1}{2} \big( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \big) + \big( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \big) } \end{array} $
ดังนั้น
$\displaystyle{ \sum_{n=1}^{200} \frac{n^2 + 2n + 3}{n^4 + 6n^3+11n^2+6n} = \frac{1}{2} \big( 1 - \frac{1}{201} \big) - \frac{1}{2} \big( \frac{1}{2} - \frac{1}{202} \big) + \big( \frac{1}{3} - \frac{1}{203} \big) = \frac{2383625}{4121103}}$
อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ sornchai:
คุณ nooonuii ครับเก่งมากเลยที่ช่วยเฉลยข้อ 10 ให้แต่ผมสงสัยว่าทำไม
($a_{ 1 }-a_{2 })+(a_{ 2 }-a_{3 })+........+(a_{n }-a_{1 })=0 $
และทำไม A = B =$ \frac{1}{2} $ ผมพื้นฐานไม่แน่นครับช่วยอธิบายหน่อย
|
ลองดูที่ตัวตั้งในแต่ละวงเล็บนะครับ ผลบวกทั้งหมดจะเท่ากับ $a_1+a_2+\cdots + a_n$ ในขณะเดียวกัน ดูที่ตัวลบในแต่ละวงเล็บถ้านำมาบวกกันจะได้ $a_2 + a_3 + \cdots + a_n + a_1 = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ ดังนั้นพอเอามาลบกันก็เลยเป็นศูนย์ครับ
โจทย์กำหนดไว้ครับว่า $A\geq \frac{1}{2} \geq B$ แต่เราได้ว่า $A = B$ อสมการก็เลยถูกบีบให้เป็นเท่ากับครับ
