[Abstract Algebra] ชวนคุยเรื่อง เอกลักษณ์และอินเวอร์ส ครับ
อยากทราบว่า การที่ การดำเนินการภายใต้เซ็ตไม่มี เอกลักษณ์ จะสามารถ มีอินเวอร์ส ได้หรือไม่ครับ
ตัวอย่าง
A = { -1, 1}
(A, +)
เซตนี้ชัดเขนว่าไม่มีเอกลักษณ์ เนื่องจาก 0 ไม่อยู่ในเซ็ต A
แต่เมื่อพิจารณานิยามของอินเวอร์ส
For each a in G, there exists an element b in G, commonly denoted a−1 (or −a, if the operation is denoted "+"), such that a b = b a = e, where e is the identity element.
(จาก Wikipedia)
เนื่องจาก 1 + (-1) = (-1) + 1 = 0
เราจะได้ว่า สมาชิกทุกตัวมีอินเวอร์ส และมี 0 เป็นเอกลักษณ์ เพียงแต่เอกลักษณ์ ไม่ได้อยู่ในเซต A เท่านั้น!
สำหรับตรงนี้ผมรู้สึกว่า (A, +) มีอินเวอร์ส โดยไม่ขัดตามนิยาม
หากแต่ยังรู้สึกขัดข้องใจกับการที่ (A, +) ไม่มีเอกลักษณ์ (มี แต่ไม่อยู่ใน A)
จึงอยากฟังความคิดเห็นของทุกท่านครับ
|