ผมไม่เเน่ใจว่าได้ป่าวอ่ะครับ เเต่มันเกรียนๆมากๆอ่ะครับ
จะพิสูจน์ว่า $a^3x+b^3y+c^3z\ge 3$ เมื่อ $x^5+y^5+z^5=3$ เเละ $abc=1$
เเทน $a=\dfrac{x^2}{yz},b=\dfrac{y^2}{zx},z=\dfrac{z^2}{xy}$ ได้ว่า $$\frac{x^{10}}{(xyz)^3} +\frac{y^{10}}{(xyz)^3}+\frac{z^{10}}{(xyz)^3}\ge\frac{(x^5+y^5+z^5)^2}{3(xyz)^3}\ge 3$$
ดังนั้น $a^3x+b^3y+c^3z\ge 3$ เมื่อ $x^5+y^5+z^5=3$ เเละ $abc=1$ เเล้วเเทน $a=x/y,b=y/z,c=z/x$ ก็จะได้ตามต้องการ เเต่ผมว่ามันเเปลกๆอยู่ดี ผิดเเหงเลยครับ 555
ส่วนอันนี้เป็นวิธีที่มีคนคิดเเล้วนะครับ $$\sum_{cyc} \frac{x^{4/5}}{y^{3/5}}=\frac{x}{x^{1/5}y^{3/5}}\ge 5\sum_{cyc} \frac{x}{x+3y+1}=5\sum_{cyc} \frac{x^2}{x^2+3xy+x}\ge \frac{5(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+(xy+yz+zx)+(x+y+z)}$$
เหลือพิสูจน์ว่า $5(x+y+z)^2\ge 3(x+y+z)^2+3(xy+yz+zx+x+y+z)\leftrightarrow [(x+y+z)^2-3(x+y+z)]+[(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)]\ge 0$
จาก $(x+y+z)^2=3(x+y+z),(x+y+z)^2\ge 3(xy+yz+zx)$