กำลังจะลงเรขาอยู่พอดีครับ
1. ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม ซึ่ง $AB \neq BC$, ให้ $T$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AC$ ให้ $A_1$ และ $C_1$ เป็นจุดปลายเส้นส่วนสูงที่ลากจาก $A$ และ $C$ ตามลำดับ, ลากเส้นสัมผัสวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$ ที่ $A$ และเส้นสัมผัสวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$ ที่ $C$ ไปตัดกันที่ $Z$, ให้ $X$ เป็นจุดตัดของ $ZA$ และ $A_1C_1$ และ $Y$ เป็นจุดตัดของ $ZC$ และ $A_1C_1$
จงพิสูจน์ว่า $T$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในสามเหลี่ยม $XYZ$
2. กำหนดให้ $\Omega$ เป็นวงกลมที่มี $AC$ เป็นคอร์ด, ถ้า $\omega$ เป็นวงกลมที่สัมผัส $AC$ และ วงกลม $\Omega$ ที่จุด $B,G$ ตามลำดับ ให้ $M$ เป็นจุดศูนย์กลางของส่วนโค้ง $AC$ ที่ไม่มี $G$ จงพิสูจน์ว่า จุด $B,G,M$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
Note: ข้อนี้เป็น lemma ที่เอาไปใช้ในโจทย์เรขาคุณ Aquila ข้อ 3 ได้ครับ
3. ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมและ $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AC$, ให้ $P$ และ $Q$ เป็นจุดบนส่วนของเส้นตรง $AM$ และ $MC$ ซึ่ง $PQ=\dfrac{1}{2}AC$, ถ้าวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABQ$ ตัดด้าน $BC$ ที่จุด $X \neq B$ , วงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ฺBCP$ ตัดด้าน $AB$ ที่จุด $Y \neq B$, จงพิสูจน์ว่าสี่เหลี่ยม $BMXY$ มีวงกลมล้อมรอบ
อ้างอิง:
Pre-TMO Combi ครับ
1. ให้ $(a_1,a_2,...,a_{20})$ เป็นลำดับของจำนวนเต็มบวก ให้ $m$ เป็นจำนวนของ $(a_i,a_j,a_k)$ ซึ่ง $1 \le i < j < k \le 20$ และ $a_j=a_i+1$, $a_k=a_j+1$ จงหาค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของ $m$
2. นรินมีป้ายตัวเลขอยู่ $2n \ (n \ge 1)$ ป้าย เขียนตัวเลขต่างกันทั้งหมด นรันจะอ่านป้ายแล้วเลือกตัวเลขหนึ่งมา จากนั้นทั้งคู่จะเล่นเกมต่อไปนี้ ในแต่ละวินาทีนรินจะชูแผ่นป้าย $n$ แผ่นให้นรันดูแล้วถามนรันว่าตัวเลขที่นรันเลือกอยู่ในแผ่นป้ายเหล่านี้หรือไม่
จงพิสูจน์ว่านรินจะมีวิธีที่จะสามารถรู้ได้เสมอว่านรันเลือกตัวเลขอะไรภายในวินาทีที่ $k \ (k \ge 1)$ ก็ต่อเมื่อ $n \le 2^{k-1}$
3. ในการแข่งขันปิงปองแบบพบกันหมดโดยแต่ละคู่แข่งกัน $1$ ครั้ง กำหนดให้มีผู้เข้าแข่งขัน $n$ คน สำหรับคนที่ $i,j$, $1 \le i < j \le n$ กำหนดให้ $W(i,j)$ แทนจำนวนคนที่ทั้งคู่ชนะในการแข่งนี้ และ $L(i,j)$ แทนจำนวนคนที่ทั้งคู่แพ้ในการแข่งนี้ จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle \sum_{1 \le i <j \le n} W(i,j)=\sum_{1 \le i <j \le n} L(i,j)$
|