อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย
1. ข้อแรกงงครับ  แบบเหมือนผมไม่รู้ว่า $a_1$ เริ่มที่ค่าไหนอ่ะครับ (เข้าใจอะไรผิด ขออภัยครับ)
2. ผมทำงง ๆ ได้ k=n เลยไม่รู้จะพิสูจน์ยังไง |
1.ข้อนี้ถึงจะเป็น IMO SL แต่ผมมองว่าเอามาออก TMO ได้เหมือนกันนะ
ลองดู IMO Shortlist ปี 2001/C1
2.ดูผิวๆคล้ายๆ IMO 2012/3 เลยนะครับ แต่น่าจะง่ายกว่าพอสมควร
ผมไม่ค่อยเข้าถึงโจทย์แนวนี้เท่าไร ลองๆ ค้นจากเฉลย IMO ดูครับ
เพราะข้อนั้นตัว statement จะ strong กว่านี้
แต่ถ้าให้พิจารณาหยาบๆ คงต้องลองแบ่งซับเซตของ $2n$ ออกมาเป็นส่วนๆ
แล้วใช้เครื่องมือพวกเซต (ซับเซต+complement) มาบีบออกจนกว่าจะเจอตัวเลขจริงๆ
ไม่การันตีว่าหลุดนะครับ
---------------------------------------------------------------------
ส่วนของน้อง image
ข้อ 3 เหมือนง่ายสุดหรือเปล่า ใช้ congruence หาคร่าวๆได้เศษเป็น 0 1 4 16
ก็ตอบว่าจริง แต่เวลาจะพิสูจน์ ก็สังเกตว่า $2^{2^n}$ มันบับให้ใกล้ๆกับ $2^n-1$ ได้
แล้วก็เขียน $2^n=nt+r$ โดย $r$ เป็นเศษ แล้วใช้คอนกรูเอนซ์โชว์ว่าเศษอยู่ในรูป $2^{2a}$ บาง $a$
ข้อ 2 มันมีกรณีทั่วไปอยู่ เป็น IMO 2009/1 ซึ่งไม่ยากมาก
ไอเดียคือใช้ $n \mid a_{i}(a_{i}-1)$ ทุก $i$ ไปสร้างความสัมพันธ์ของ $a_{1}$ กับ $a_{k}$
มาทำ contradiction กับ $n \mid a_{k}(a_{1}-1)$
(ข้อนี้ต้องกำหนดด้วยว่า $a_{i}$ ต่างกันหมด)
ส่วนข้อ 1 นี่ผมมองว่ายากสุด เพราะต้องทำหลายขั้นตอน
1.เซตให้ $\frac{p}{n}=0.d_{1}d_{2}...$ เมื่อ $d_{i}$ เป็นเลขโดด
2.ตั้งข้อสังเกตโดยเอา 10 คูณสมการบนแล้วส่งต่อ division algo
$10p=nd_{1}+r_{1}$
$10r_{1}=nd_{2}+r_{2}$ จนไปถึง $n$
$10r_{n}=nd_{n+1}+r_{n+1}$
3.ให้เหตุผลด้วยนกพิราบ ระหว่าง $r_{1},...,r_{n+1}$ กับเศษในมอดุโล $n$
4.ต้องมี $k,m$ ที่ทำให้ $r_{k}=r_{m}$
5.สมมติไม่เสียนัยให้ $m > k$ there exists $t$ โดย $t=m-k$
6.ตัว index $t=m-k$ จะประพฤติตัวเป็นคาบของการซ้ำทศนิยม
เราก็ส่งต่ออุปนัยแบบที่ 2 เพื่อพิสูจน์ว่า $d_{j}=d_{j+t}$ และ $r_{j+t}=r_{j}$ ทุก $j=k+1,k+2,...$
ให้ข้อความบนแทนด้วย $P(j)$ แล้ว prove
1.$P(k+1)$ จริง
2. สมมติ $P(j)$ จริงเมื่อ $j \geq k+1$ แล้ว $P(j+1)$ จริง
ปล.โจทย์ข้อ 3 ของคุณ THGX ผมมองว่าเป็นโจทย์ที่ดีสำหรับ TMO ครับ
ควรค่าแก่การฝึก และมีแนวโน้มจะออกข้อสอบได้มากอยู่