ให้ $n^2+bn + c = m^2 ...(1)$
ให้ $x = m + n$
และ $y = m -n$
จะได้ $n = \frac{x-y}{2} = \frac{2x-2y}{4}$ ...(*)
จากสมการ (1) จะได้
$b(\frac{x-y}{2}) + c = xy$
จัดรูปได้ $y = \frac{bx+2c}{2x+b}$
ดังนั้น $2y = \frac{2bx+4c}{2x+b} = \frac{b(2x+b)-b^2+4c}{2x+b} = b - \frac{b^2-4c}{2x+b}$
ให้ $a = 2x+b$ แล้วจะได้ $2x = a - b$ และ $2y = b - \frac{b^2-4c}{a}$
ดังนั้น $n = \frac{2x-2y}{4} = \frac{a-b-b+\frac{b^2-4c}{a}}{4} = \frac{a^2-2ab+b^2-4c}{4a}$
สรุปได้ว่า
อ้างอิง:
ถ้า $n^2+bn+c $ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ โดยที่ b, c เป็นจำนวนเต็ม และ b เป็นจำนวนคี่ โดยที่ $b^2-4c \ne p^2$ (p เป็นจำนวนคี่) แล้วจะได้ว่า
$n = \frac{(a-b)^2-4c}{4a} $
เมื่อ a เป็นตัวประกอบคี่ครึ่งแรก (หรือครึ่งหลัง) ของ $b^2-4c$
ถ้า $b^2-4c = p^2$ แล้วต้องแทนเกินครึ่งไป 1 ชุด (อีก 2 ตัว)
|
เช่น $n^2+59n+881$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์เมื่อ n = ?
$b^2-4c = 59^2 - 4(881) = -43 \ne 0$
ดังนั้น $n = \frac{(a-59)^2-4(881)}{4a}$
ตัวประกอบของ -43 ได้แก่ $\pm 1, \pm 43$
ตัวประกอบคี่ครึ่งแรกของ -43 คือ $\pm 1$
ถ้า a = 1 จะได้ n = -40
ถ้า a = -1 จะได้ n = -19