ข้อ 13 ยังคิดวิธีที่ดีกว่าพิธากอรัสไม่ออก
กำหนดความยาวด้านตามภาพแนบ
1. หาด้าน BQ, AR, AT, RT
1.1 $BQ$ : $BQ=\sqrt{x^2+y^2}$ โดยพิทากอรัส
1.2 $AR$ : $\dfrac{1}{2} \cdot AR \cdot BQ = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AQ$ โดยหาพื้นที่สามเหลี่ยม
$h=AR = \dfrac{xy}{x^2+y^2}$
1.3 $AT, RT$ : $\dfrac{AR}{BQ}=\dfrac{RT}{BA}=\dfrac{TA}{AQ}$ โดยสามเหลี่ยมคล้าย $\triangle ART \sim \triangle QBA$
$x_1=RT=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}$ และ $y_1=TA = \dfrac{x^2y}{x^2+y^2}$
2. หาคำตอบที่ต้องการ: ให้ $\dfrac{x}{y}=k$
จาก $PR^2=x_1^2+(x-y_1)^2$ โดยพิทากอรัส
$PR^2=\left ( \dfrac{xy^2}{x^2+y^2} \right ) ^2+\left ( x-\dfrac{x^2y}{x^2+y^2} \right ) ^2$
$\dfrac{PR^2}{x^2} = \left ( \dfrac{y^2}{x^2+y^2} \right ) ^2 + \left ( 1-\dfrac{xy}{x^2+y^2} \right ) ^2$
แทนค่าสิ่งที่กำหนดให้ และสิ่งที่ต้องการหา
$\dfrac{2}{3} = \left ( \dfrac{1}{k^2+1} \right ) ^2 + \left( 1-\dfrac{k}{k^2+1} \right ) ^2$
จัดรูปจะได้
$k^4-6k^3+5k^2-6k+4=0$
$(k^2+1)(k^2-6k+4)=0$
ทำให้สรุปได้ว่า $k=3-\sqrt{5}$ จบเลิก
|