อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คน-อ่อน-เลข
4.ให้ $x$ เป็นจำนวนจริงบวก ถ้า $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x} } $ และ $\sqrt[4]{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x} } $ เป็นจำนวนเต็มบวก แล้วค่าต่ำสุดของ $x + \frac{1}{x} $ มีค่าเท่าไหร่
|
ให้ $a=\sqrt[4]{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x} }$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนเต็มบวก
$a^2-2=(\sqrt[4]{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x} })^2-2=\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x} } $
$(a^2-2)^2-2=(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x} } )^2-2=x + \frac{1}{x} $
แสดงว่า $a^2-2$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ a ต้องเป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดเพื่อให้ได้คำตอบน้อยที่สุด
จะเห็นว่า $a=2$ เป็นตัวที่น้อยที่สุด เพราะถ้า $a=1$ แล้ว $a^2-2$ จะเป็นจำนวนลบ
$(a^2-2)^2-2=(2^2-2)^2-2=2$
ดังนั้น ค่าที่น้อยที่สุดของ $x + \frac{1}{x}=2$