อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง
มีมาเติมให้ครับ Let $a,b,c>0$
1.and $a+b+c=3$ Prove that $$a\sqrt{1+b^3}+b\sqrt{1+c^3}+c\sqrt{1+a^3}\le 5$$
2.Prove $$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge 9$$
3.and $a^2+b^2+c^2=3$ Prove $$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge 3$$
ปล.ผมอยากได้โจทย์หลากหลายหน่อยครับ เช่น NT,FE,Comb,Geo,...
|
ข้อนี้ต้อง $a,b,c\geqslant 0$ รึเปล่าครับไม่งั้นมันจะไม่มีจุดที่เท่ากันอ่ะครับ
จากอสมการAM-GMจะได้ $\sqrt{1+x^3}=\sqrt{(1+x)(1-x+x^2)} \leqslant \frac{(1+x)+(1-x+x^2)}{2}=\frac{2+x^2}{2} \Leftrightarrow \sqrt{1+x^3}\leqslant\frac{2+x^2}{2}$
ดังนั้น$$\sum_{cyc} a\sqrt{1+b^3}\leqslant \sum_{cyc}a(\frac{2+b^2}{2} )=a+b+c+(\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{2} )=3+(\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{2} ) $$
จึงเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า$$ab^2+bc^2+ca^2\leqslant 4=\frac{4(a+b+c)^3}{27} $$
ซึ่งก็คืออสมการจาก Canada MO 1999 ดูได้จาก
http://www.artofproblemsolving.com/F...dea66af8f#p768
และอสมการจะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ$a=1,b=2,c=0$และการสับเปลี่ยนทั้งหมด
ปล.ขี้เกียจมากก
$$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge 9\Leftrightarrow (\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}-8)-(1-\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2})\geqslant 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{c(a-b)^2+a(b-c)^2+b(c-a)^2}{abc}-\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}\geqslant 0\Leftrightarrow \sum_{cyc}(a-b)^2(\frac{1}{ab} -\frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)} )\geqslant 0 $$
โดยSOS Theorem;$$\Leftrightarrow \sum_{cyc}(a-b)^2(\frac{2c(a^2+b^2+c^2)-abc}{abc} )\geqslant 0\Leftrightarrow \sum_{cyc}(a-b)^2S_c\geqslant 0$$
จะได้ว่า$S_a=2a(a^2+b^2+c^2)-abc,S_b=2b(a^2+b^2+c^2)-abc,S_c=2c(a^2+b^2+c^2)-abc$
โดยไม่เสียนัยสำคัญสมมติให้ $a\geqslant b\geqslant c>0$ จะได้ $S_a=2a(a^2+b^2+c^2)-abc\geqslant 2a(a^2+b^2+c^2)-a^3=a(a^2+2b^2+2c^2)\geqslant 0$
และ $S_b+S_c=2(b+c)(a^2+b^2+c^2)-2abc\geqslant 2(2\sqrt{bc})(a^2+2bc)-2a(bc)=4(\sqrt{bc})(a^2+2bc-\frac{a\sqrt{bc}}{2} )=4(\sqrt{bc})((2x-\frac{bc}{4})^2+\frac{31bc}{16} )\geqslant 0 $
ดังนั้น$$\sum_{cyc}(a-b)^2S_c=(b-c)^2S_a+(c-a)^2S_b+(a-b)^2S_c\geqslant(S_b+S_c)(c-a)^2\geqslant 0$$
และอสมการจะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ$a=b=c$
ข้อนี้โคตรstrong
$$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geqslant 3\Leftrightarrow \sum_{cyc}(\frac{1}{2-a}-\frac{1}{2} ) \geqslant \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum_{cyc} (\frac{a}{2(2-a)} )\geqslant \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum_{cyc} (\frac{a}{2-a} )\geqslant 3$$
โดยอสมการโคชี-ซวาร์ซ Engel form จะได้
$$\sum_{cyc} (\frac{a}{2-a} )=\sum_{cyc} (\frac{a^4}{2a^3-a^4} )\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^3+b^3+c^3)-(a^4+b^4+c^4)}= \frac{9}{2(a^3+b^3+c^3)-(a^4+b^4+c^4)}$$
จึงเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า$2(a^3+b^3+c^3)-(a^4+b^4+c^4)\leqslant 3$
แต่จาก$a^2(a-1)^2\geqslant 0\Leftrightarrow 2a^3-a^4\leqslant a^2$
ดังนั้น$2(a^3+b^3+c^3)-(a^4+b^4+c^4)=(2a^3-a^4)+(2b^3-b^4)+(2c^3-c^4)\leqslant a^2+b^2+c^2=3$
ทำให้เราได้อสมการที่ต้องการพิสูจน์ และอสมการจะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ$a=b=c=1$
ผมว่าข้อเรขาของคุณ~ArT_Ty~นี่ไม่เบาเลยนะ ถ้าอัดตรีโกณนี่เน่ามากๆ แสดงวิธีที่ใช้ Inversion หน่อยสิครับ
ปล.เดี๋ยวผมมาตั้งโจทย์นะ