อ้างอิง:
|
1) จงแสดงว่า $(3n+4,2n+3)=1$ สำหรับทุกๆ จำนวนเต็ม $n$
|
$3n+4=(2n+3)(1)+(n+1)$
$2n+3=(n+1)(2)+1$
$n+1=1(n+1)$
ดังนั้น $(3n+4,2n+3)=1$
อ้างอิง:
|
4) ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงแสดงว่า $10^n+18n-1$ หารด้วย $27$ ลงตัว
|
ให้ $n\in \mathbb{N} $ และ $P(n):27|10^n+18n-1$
1) พิจารณา $n=1$ $P(1)$ เป็นจริง เพราะว่า $27|10^1-18(1)-1$
2) ให้ $k\in \mathbb{N} $ ที่ $k>1$ และ $P(k)$ เป็นจริง นั่นคือ $27|10^k+18k-1$ ทำให้ $27|10(10^k+18k-1)$ [จะแสดงว่า P(k+1) เป็นจริง]
พิจารณา $10(10^k+18k-1)=10^{k+1}+180k-10=10^{k+1}+18k+18-1+162k-27=(10^{k+1}+18(k+1)-1)+162k-27$
เนื่องจาก $162k-27 =27(6k-1)$ หารด้วย 27 ลงตัว ดังนั้น $27|10^{k+1}+18(k+1)-1$
P(k+1) เป็นจริง
อ้างอิง:
|
7) จงแสดงว่า ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว $(2^a-1,2^b-1)=2^{(a,b)}-1$
|
ให้ $(a,b)=d$ จะได้ $a=dp$ และ $b=dq$ สำหรับบาง $p,q\in \mathbb{Z} $
จะได้ $2^a-1=(2^d)^p-1$ และ จะได้ $2^b-1=(2^d)^q-1$ $\therefore 2^d-1|2^a-1$ และ $2^d-1|2^b-1$ จะได้ $2^d-1|(2^a-1,2^b-1)$
ให้ $(2^a-1,2^b-1)=D$ จะได้ $2^a-1\equiv 0 $(mod D) และ $2^b-1\equiv 0 $(mod D) $\Rightarrow 2^a\equiv 1$ (mod D) และ $2^b\equiv 1$ (mod D)
จะได้ $(2^a)^x(2^b)^y\equiv 1$ (mod D) $\Rightarrow 2^{ax+by}\equiv 1$ (mod D) ซึ่ง x,y เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ $d=(a,b)=ax+by$
$\Rightarrow 2^d-1\equiv 0$ (mod D) $\Rightarrow D|2^d-1\Rightarrow (2^a-1,2^b-1)|2^d-1$
จาก $2^d-1|(2^a-1,2^b-1)\Rightarrow 2^{(a,b)}-1\leqslant (2^a-1,2^b-1)$
และ $(2^a-1,2^b-1)|2^d-1\Rightarrow 2^{(a,b)}-1\geqslant (2^a-1,2^b-1)$
จะได้ $2^{(a,b)}-1=(2^a-1,2^b-1)$