[-InnoXenT-]

ผมได้เก็บรวมรวมโจทย์เลขจากที่ต่างๆ ที่ผมเห็นตั้งแต่ตอนผม ม.ปลาย จนถึงปี 2 เกือบประมาณ 1300 ข้อแล้วครับตอนนี้ (ตอนนี้ผมเรียนปี 4) ก็เลยกะว่า จะมาปล่อยในนี้ครับ โจทย์ที่เห็นอาจจะคุ้นหน้าคุ้นตา user ท่านอื่นๆ เพราะว่าผมเองก็ไม่ใช่คนแต่งโจทย์ เป็นเพียงคนเก็บสะสมมานาน เฉยๆ ถ้าข้อไหนเคยเฉลยแล้ว ก็อย่าว่ากันนะครับ ผมจะค่อยๆปล่อยละกัน ความยากของโจทย์ก็มีคละๆกันไป

1. จงหาค่่าของ $\displaystyle{\sqrt[8]{2207-\frac{1}{2207-\frac{1}{2207-...}}}}$ ในรูป $\frac{a+b\sqrt{c}}{d}$ เมื่อ $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$

Solution

$x^8 = 2207-\frac{1}{x^8}$
กำหนดให้ $y = x^4$ แล้วแก้สมการ
$(y+\frac{1}{y})^2=2209$
$y+\frac{1}{y} = 47$
$x = \frac{2207-987\sqrt{5}}{2}$

2. กำหนดให้ $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ เป็นคำตอบ 4 คำตอบในสมการ $\left| x^2-3x+2\right| =mx$
2.1) จงหาช่วงของค่า $m$ ที่ทำให้ $\alpha\neq\beta\neq\gamma\neq\delta$

Solution

วาดกราฟ $y = \left| x^2-3x+2\right| $ และ $y = mx$ จะรู้ได้ว่า ค่าของ $m$ ที่มากที่สุด ที่จะทำให้ สมการมีคำตอบสี่คำตอบ คือ จุดก่อนที่ $y = mx$ จะสัมผัสกับ $y = \left| x^2-3x+2\right|$ อยู่ในช่วง $(1,1.5)$ ทำให้ $y = -x^2+3x-2$ แทนค่า $y = mx$ ลงในสมการ

จะได้

$mx = -x^2+3x-2$ เมื่อแก้สมการดูก็จะรู้ว่า $m \in (0,3-2\sqrt{2})$

2.2) จงแสดง $S = \frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2}+\frac{1}{\delta^2}$ ในรูปของ $m$

Solution

กำหนดให้ $\alpha,\beta$ เป็นคำตอบของสมการ $x^2-3x+2 = mx \rightarrow x^2+(-3-m)x+2=0$
และ $\gamma,delta$ เป็นคำตอบของสมการ $-x^2+3x-2 = mx \rightarrow x^2+(m-3)x+2=0$
$\alpha + \beta = m+3 ,\alpha\beta = 2 \rightarrow \alpha^2+\beta^2 = m^2+6m+5$
$\gamma + \delta = -m+3 ,\gamma\delta = 2 \rightarrow \gamma^2+\delta^2 = m^2-6m+5$
$S = \frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2}+\frac{1}{\delta^2}$
$S = \frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha^2\beta^2}+\frac{\gamma^2+\delta^2}{\gamma^2\delta^2}$
$S = \frac{1}{4}(m^2+6m+5)+\frac{1}{4}(m^2-6m+5)$
$S = \frac{1}{2}(m^2+5)$

2.3) จงหาช่วงของค่า $S$

Solution

เรารู้ว่า $0 < m < 3-2\sqrt{2}$
$5 < m^2+5 < 22 -12\sqrt{2}$
$\frac{5}{2} < S < 11-6\sqrt{2}$

3. Simplify $\sqrt[2003]{2\sqrt{11}-3\sqrt{5}}\sqrt[4006]{89+12\sqrt{55}}$

Solution

$\displaystyle{\sqrt[2003]{2\sqrt{11}-3\sqrt{5}}\sqrt[4006]{89+12\sqrt{55}} = ((2\sqrt{11}-3\sqrt{5})^2)^{\frac{1}{4006}}(89+12\sqrt{55})^{\frac{1}{4006}}}$
$\displaystyle{= \sqrt[4006]{89^2-(12\sqrt{55})^2}} = -1$

4. กำหนดให้ $x,y > 0$ ที่ทำให้
$$3 = k^2(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})+k(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$$
จงหาค่าที่เป็นไปได้มากสุดของค่า $k$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...07&postcount=6

5. กำหนดให้ $m \otimes n = \frac{m+n}{mn+4}$ จงหาค่าของ $((...((2005\otimes 2004)\otimes 2003)\otimes ...\otimes 1)\otimes 0)$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...00&postcount=5