ข้อ 71. ยังทำไม่ได้นะครับ แต่ขออนุญาตลงโจทย์เพิ่ม
76. จงหาค่า $x$ จากช่วง $\left[ 0,2\pi\right] $ ที่ทำให้
$$2\cos{x} \leq \left| \sqrt{1+\sin{2x}}-\sqrt{1-\sin{2x}} \right| \leq \sqrt{2} $$
77. กำหนดให้ $f(x) = (ax+b)^{-1}$ โดยที่ $a,b \in \mathbb{R}$ ถ้ามีจำนวนจริง $x_1, x_2, x_3$ ที่ทำให้ $f(x_1) = x_2, f(x_2) = x_3$ และ $f(x_3) = x_1$ จงหาความสัมพันธ์ของ $a,b$
แทนค่าลงไปตรงๆ
$\displaystyle{x_2 = \frac{1}{ax_1+b}}$
$\displaystyle{x_3 = \frac{1}{ax_2+b}}$
$\displaystyle{x_1 = \frac{1}{ax_3+b}}$
แก้สมการไปเรื่อยๆ สุดท้ายจะได้
$ax_1^2(b^2+a)+x_1(b^2+a)-(b^2+a) = 0$
ความสัมพันธ์ของ $a,b$ คือ $b^2+a = 0$
78. จงหาค่าของ
$$\prod_{k=0}^{2^{1999}} (4\sin^2{\frac{k\pi}{2^{2000}}}-3)$$
$\displaystyle{= (-1)^1\prod_{k=0}^{2^{1999}} (1+2\cos{\frac{k\pi}{2^{1999}}})}$
ลองจับคู่คูณกัน เมื่อ $n$ เป็นจำนวนที่เต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ $0$
$\displaystyle{(1+2\cos{\frac{n\pi}{2^k}})(1+2\cos{\frac{(2^k-n)\pi}{2^k}})}$
$\displaystyle{= (1+2\cos{\frac{n\pi}{2^k}})(1-2\cos{\frac{n\pi}{2^k}})}$
$\displaystyle{= 1-4\cos^2{\frac{n\pi}{2^k}}}$
$\displaystyle{= -1-2\cos{\frac{n\pi}{2^{k-1}}}}$
จะมีตัวตรงกลางไม่มีคู่คูณ คือ $2^{k-1}$ สังเกตว่า พจน์นั้นจะกลายเป็น $1$ ละทิ้งไปได้เลย
$\displaystyle{1+2\cos{\frac{2^{k-1}\pi}{2^{k}}} = 1+2\cos{\frac{\pi}{2}} = 1}$
ดังนั้น
$\displaystyle{= (-1)^1\prod_{k=0}^{2^{1999}} (1+2\cos{\frac{k\pi}{2^{1999}}})}$
$\displaystyle{= (-1)^2\prod_{k=0}^{2^{1998}} (1+2\cos{\frac{k\pi}{2^{1998}}})}$
$\displaystyle{= (-1)^3\prod_{k=0}^{2^{1997}} (1+2\cos{\frac{k\pi}{2^{1997}}})}$
...
$\displaystyle{= (-1)^{2000}\prod_{k=0}^{2^0} (1+2\cos{k\pi})} = 3$
79. กำหนดให้ $A,B$ เป็นเมตริกซ์ที่มีขนาด $4\times 4$ โดยที่ $A(adj(2B^{-1})) - I = B$ และ $\det{B} = 8$ จงหาค่าของ $\det{(A-I)}$
80. ถ้า $f : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ และ $f(x^2+x+3) + 2f(x^2-3x+5) = 6x^2-10x+7$ จงหาค่าของ $f(85)$
ถ้าให้ $f(x)=Ax+B$ แทนค่าลงไป แล้วเทียบสัมประสิทธิ์จะได้
$A=2, B=-\frac{19}{3}$ จึงได้ $f(85)=2(85)-\frac{19}{3} = \frac{491}{3}$