อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tonklaZolo
9.ระหว่าง $1001^{999}$ กับ $1000^{1000}$ จำนวนใดมีค่ามากกว่า
|
ดังนี้ครับ
Induction let $ n \in \mathbb{N}$
$\because (n+1)^2 = n(n+2)+1$
$(n+1)^2 > n(n+2)$
$2log(n+1)>logn(n+2)$
$2nlog(n+1)>nlogn(n+2)$
$(n-1)log(n+1)+(n+1)log(n+1) > nlogn+nlog(n+2)$
$\therefore (n+1)log(n+1)-nlog(n+2)>nlogn-(n-1)log(n+1)$
let $P(n)$ แทน $n^n>(n+1)^{n-1}$
P(2) is true; $2^2>3^1$
if P(n) is true then $n^n>(n+1)^{n-1}$
$nlogn>(n-1)log(n+1)$
$nlogn-(n-1)log(n+1)>0$
but $(n+1)log(n+1)-nlog(n+2)>nlogn-(n-1)log(n+1)>0$
$(n+1)log(n+1)>nlog(n+2)$
$(n+1)^{n+1}>(n+2)^n$
that is P(n+1) is also true
P(n) is true for all n > 1
$1000^{1000}>1001^{999}$