[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Heir of Ramanujan

ป.ล. ไม่มีใครเข้ามาเฉลยเลย อย่างน้อยเจ้าของโจทย์เข้ามาเฉลยวิธีของตัวเองซะหน่อยก็ยังดีนะครับ

จัดให้ครับ ขอทยอยทำนะครับ
ข้อ 1.

my solution

ให้ n แทนจำนวนขั้นของขั้นบันไดเลื่อน, และ v แทนความเร็วของบันไดเลื่อน
จากโจทย์ทีกำหนดให้ ความเร็วที่ใช้ขึ้นบันไดเลื่อน 1 ขั้น/วินาที และในขาขึ้นเดินผ่านขั้นบันไดเลื่อน 18 ขั้นดังนั้นใช้เวลา 18 วินาที สำหรับขาลงใช้ความเร็วคงที่ 3 ขั้นบันไดเลื่อนต่อวินาที แต่ผ่านขั้นบันไดเลื่อน 90 ขั้นแสดงว่าใช้เวลา 30 วินาที จากการวิเคราะห์โจทย์ข้างต้นจะสามารถตั้งเป็นสมการได้ดังนี้
$18v+18=n .................(1)$
$90-30v=n ..................(2)$
จะเห็นว่าสมการ (1)= สมการ (2) แก้สมการได้ $v = \frac{3}{2}$ ขั้นต่อวินาที
นำ $v = \frac{3}{2}$ ขั้นต่อวินาที ไปแทนลงในสมการที่ (1) เพื่อหา $n$ จะได้ว่า $n=45$

เพราะฉะนั้น ณ เวลาหนึ่ง เรามองเห็นขั้นบันไดเลื่อนทั้งหมด 45 ขั้น

ข้อ 3.

my solution

วิธีทำ
จากสิ่งที่โจทย์กำหนดจะได้ว่าระยะของ $AB =\sqrt{((20-(-16))^2+((18-(-9))^2} = 45$
จากโจทย์ที่กำหนด $AC:CB=4:5 $ ทำให้ได้ว่าระยะ $AC=20;CB=25$
สมมุติให้จุด $C$ มีโคออร์ดิเนต $(h,k)$ สามารถหาจุด $(h,k)$ ได้โดย
$AC = \sqrt{(h+16)^2+(k+9)^2} = 20 .............(1)$
$CB = \sqrt{(20-h)^2+(18-k)^2} = 25 .............(2)$
แก้สมการหา$ (h,k)$ ได้ $(0,3)$
จากทบ.เรขาคณิตที่กล่าวไว้ว่า คอร์ด 2 คอร์ดตัดกันภายในวงกลมพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ประกอบด้วยส่วนตัดของคอร์ดย่อมเท่ากัน นั่นคือ
$(AC)(CB)=(DC)(CE) $
$2(AC)(CB)=2(DC)(CE)=2(20)(25)=1000 $
โจทย์กำหนดว่า$ DC>CE$ และ $DC^2+CE^2=5000$
เพราะฉะนั้น$(DC+CE)^2=6000$ และ $(DC-CE)^2=4000$
จากเงื่อนไขโจทย์ แก้สมการข้างต้นทำให้ได้ว่า $DC =10( \sqrt{15}+\sqrt{10})$ และ $EC =10( \sqrt{15}-\sqrt{10})$
ดังนั้น $DC =10( \sqrt{15}+\sqrt{10})$

ข้อ 6.

my solution

วิธีทำ
${x=\sqrt{x+2\sqrt{y+2\sqrt{x+2y}}}}..........(1)$
${y=\sqrt{y+2\sqrt{x+2\sqrt{y+2x}}}}..........(2)$
นำค่าของ y ในสมการที่(2) แทนลงในสมการที่ (1) ตรงพจน์หลังและต่อจากนั้นก็นำค่าของ x แทนต่อสลับไปมาเเรื่อยๆ จะได้ว่า
${x=\sqrt{x+2\sqrt{y+2\sqrt{x+2\sqrt{y+2\sqrt{x+2\sqrt{y+2\sqrt{....}}}}}}}}.....(3)$
ดังนั้นจะได้ว่า
$x^2 =x+2y.....(4)$
ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า
${y=\sqrt{y+2\sqrt{x+2\sqrt{y+2\sqrt{x+2\sqrt{y+2\sqrt{x+2\sqrt{....}}}}}}}}......(5)$
และ $y^2 = y +2x.......(6)$
นำสมการ (4)$-$สมการ(6)
$x^2-y^2 = y-x$
$(x-y)(x+y)+(x-y) = 0$
$(x-y)(x+y+1) = 0$
แต่ $x+y+1>0$ ดังนั้น $x=y$
แทนค่า$x=y$ ในสมการที่ (4)
$x^2 =x+2x$
$x(x-3) = 0$
$\therefore x=0,3$
นำไปแทนค่าในสมการที่โจทย์กำหนดพบว่าเป็นจริงทั้ง 2 ค่า
$x ={0,3}$

ข้อ 11.

my solution

วิธีทำ
$log_x36 +log_{18}(3x) = 3$

$\frac{2log6}{logx} + \frac{log3+logx}{log3+log6} = 3$

$(2log6)(log3+log6) + (log3+logx)(logx) =3(logx)(log3+log6)$

$2(log6)(log3)+2(log6)(log6) + (log3)(logx)+(logx)(logx) =3(logx)(log3)+3(logx)(log6)$

$2(log6)(log3)+2(log6)^2 +(logx)^2 - 2(logx)(log3)- 3(logx)(log6) = 0$

$(logx-log6)(logx-2log6-2log3) = 0$

$logx = log6, 2log6 + 2log3$

จะได้ว่า

$x= 6$ หรือ $324$

นำค่าของ $x$ ที่ได้ไปแทนลงในสมการที่กำหนด พบว่าเป็นคำตอบของสมการ
ดังนั้น $x$={6, 324}

ข้อ 12.

my solution

วิธีทำ
นำรูปไป plot ลงในกราฟ เพื่อหาจุดตัดของ PQRS และต่อจากนั้น ก็จะหาพื้นที่จากจุดตัดดังกล่าว ซึ่งจะได้รูปดังข้างล่าง



ต่อจากนั้นก็หาสมการของเส้นตรงของ AG, CE, BH และ DF เพื่อหาจุดตัดของ สี่เหลี่ยม PQRS
จะได้ว่าสมการเส้นตรง AG คือ $y =\frac{5}{8}x$
จะได้ว่าสมการเส้นตรง CE คือ $y =\frac{5}{8}x+1$
จะได้ว่าสมการเส้นตรง BH คือ $y =-x+8$
จะได้ว่าสมการเส้นตรง DF คือ $y =-x+6$
จากสมการทั้ง 4 เส้นจะหาจุดตัดของ สี่เหลี่ยม PQRS ได้ดังนี้
จุด P คือ $(\frac{40}{13},\frac{38}{13})$
จุด Q คือ $(\frac{48}{13},\frac{30}{13})$
จุด R คือ $(\frac{64}{13},\frac{40}{13})$
จุด S คือ $(\frac{56}{13},\frac{48}{13})$
พื้นที่ของสี่เหลี่ยม PQRS จะเท่ากับ

$= \frac{1}{2}\vmatrix{\frac{40}{13} & \frac{48}{13} & \frac{64}{13} & \frac{56}{13} & \frac{40}{13} \\ \frac{38}{13} & \frac{30}{13} & \frac{40}{13} & \frac{48}{13} & \frac{38}{13}} $

$ =\frac{1}{2}\left|\,[(\frac{40}{13})(\frac{30}{13})+(\frac{48}{13})(\frac{40}{13})+(\frac{64}{13})(\frac{48}{13})+(\frac{56}{13})(\frac{38}{13})]-[(\frac{38}{13})(\frac{48}{13})+(\frac{30}{13})(\frac{64}{13})+(\frac{40}{13})(\frac{56}{13})+(\frac{48}{13})(\frac{40}{13})]\right.\left.\,\right|$

$ = \frac{16}{13}$

พื้นที่สี่เหลี่ยม $PQRS = \frac{16}{13}$ ตารางเซนติเมตร