[TOP]

ข้อ 2 ยังไม่มีใครมาเฉลยสักที ผมเองก็เกือบจะลบไฟล์เฉลยที่ทำทิ้งไว้นานแล้วทิ้งไป ขอเอามาลงเลยละกัน

2. O N E T W X เป็นเลขโดดที่แตกต่างกันทั้งหมด จงหาเลขฐานทั้งหมดซึ่งทำให้ การบวกต่อไปนี้มีผลเฉลยเพียงหนึ่งเดียว
\[\begin{array}{c}
\begin{array}{rrrrr}\quad & \rm{O} & \rm{N} & \rm{E} & _+ \end{array} \\
\underline{\begin{array}{rrrrr}\quad & \rm{T} & \rm{W} & \rm{O} & \;\;\end{array}} \\
\underline{\underline{\begin{array}{rrrrr}\rm{N} & \rm{E} & \rm{X} & \rm{T} & \;\end{array}}}
\end{array}\]

Solution

สมมติว่าเป็นการบวกของเลขฐาน $B$

เนื่องจาก มีเลขโดด $6$ ตัวแตกต่างกันทั้งหมด ดังนั้น $B \geqslant 6$

เห็นได้ชัดว่า $N = 1$ เสมอ เพราะว่าเลขสามหลักสองจำนวน มีผลรวมไม่ถึง $B^3 + B^3 = 2B^3$ หรือ $2000_B$
จึงได้
\[\begin{array}{c}
\begin{array}{rrrrr}\quad & \rm{O} & \rm{1} & \rm{E} & _+ \end{array} \\
\underline{\begin{array}{rrrrr}\quad & \rm{T} & \rm{W} & \rm{O} & \;\;\end{array}} \\
\underline{\underline{\begin{array}{rrrrr}\rm{1} & \rm{E} & \rm{X} & \rm{T} & \;\end{array}}}
\end{array}\]
จะพิจารณา ผลบวกของตัวเลขทางขวามือสุด แบ่งได้เป็น $2$ กรณีคือ

1. บวกแล้วไม่มีทด หรือ $E + O = T$ -------- (1)
   
   พิจารณาผลบวกของตัวเลขทางขวามือถัดมาตัวที่สอง แบ่งได้เป็น $2$ กรณีคือ
   1. บวกแล้วไม่มีทด หรือ $1 + W = X$ -------- (1.a)
      
      กรณีนี้จะได้ $O + T = B + E$
      บวก $O$ ทั้งสองข้าง และใช้ผลของ (1) จะได้
      $\begin{array}{rcl}
      2O + T & = & B + T \\
      2O & = & B
      \end{array}$
      
      เนื่องจาก $B \geqslant 6$ ดังนั้น $O \geqslant 3$
      
      • กรณี $O = 3$
        พิจารณาผลบวกของตัวเลขทางขวามือสุด จะพบว่า $E = 2$ เท่านั้น ($1$ กับ $3$ ใช้ไม่ได้เพราะ $N$ กับ $O$ ใช้ไปแล้ว และ $4$ ใช้ไม่ได้เพราะจะทำให้ $T = 4 + 3 = 7$ เกิดการทดในเลขฐาน $6$)
        
        จึงได้ $T = 2 + 3 = 5$
        
        เหลือตัวเลขที่ $W$ จะใช้ได้คือ $0$ หรือ $4$ ซึ่งใช้ไม่ได้ เพราะจะทำให้ได้ค่า $X$ ซ้ำกับ $N$ หรือ $T$
        
        ดังนั้นกรณีนี้จึงเป็นไปไม่ได้
        
      • กรณี $O = 4$
        พิจารณาผลบวกของตัวเลขทางขวามือสุด จะพบว่า $E = 2$ หรือ $E = 3$ เท่านั้น ($1$ กับ $4$ ใช้ไม่ได้เพราะ $N$ กับ $O$ ใช้ไปแล้ว และ $E \geqslant 5$ ใช้ไม่ได้เพราะจะทำให้ $T \geqslant 4 + 5 = 9$ เกิดการทดในเลขฐาน $8$)
        
        กรณี $E = 2$ จะได้ $T = 2 + 4 = 6$ แต่จะพบว่า ไม่สามารถหา $W\ ,\ X$ ที่ตรงตามเงื่อนไขได้ เพราะ ค่าของ $W$ ที่เป็นไปได้คือ $3\ ,\ 5\ ,\ 7$ ล้วนทำให้ค่าของ $X$ ซ้ำกับตัวอื่นหรือไม่ก็เป็นเลข $8$ ซึ่งไม่มีในเลขฐาน $8$
        
        กรณี $E = 3$ จะได้ $T = 3 + 4 = 7$ จะพบว่า เหลือค่า $W$ ที่เป็นไปได้จริงเพียงค่าเดียวคือ $W = 5$ และจะได้ $X = 1 + 5 = 6$
        นั่นคือผลเฉลยในกรณีนี้คือ $413_8 + 754_8 = 1367_8$
        
      • กรณี $O \geqslant 5$
        กรณี $E = 2$ จะได้ $T = 2 + O \geqslant 7$
        จะพบว่า เราสามารถหาค่า $W\ ,\ X$ ที่เป็นไปได้จริงอย่างน้อย $2$ แบบ คือ $W = 3\ ,\ X = 4$ และ $W = B - 2\ ,\ X = B - 1$ ($\because W = 2O - 2 > T = 2 + O$ เมื่อ $O \geqslant 5$)
        นั่นคือจะได้ผลเฉลยมากกว่าหนึ่งแบบ จึงใช้ไม่ได้
   2. บวกแล้วมีทด หรือ $1 + W = B + X$ -------- (1.b)
      
      กรณีนี้จะได้ $1 + O + T = B + E$
      บวก $O$ ทั้งสองข้าง และใช้ผลของ (1) จะได้
      $\begin{array}{rcl}
      1 + 2O + T & = & B + T \\
      2O + 1 & = & B
      \end{array}$
      
      เนื่องจาก $B \geqslant 6$ ดังนั้น $O \geqslant 3$
      นอกจากนี้เราจะได้ $W\ ,\ X$ ที่เป็นไปได้เพียง $1$ รูปแบบเท่านั้น (รูปแบบอื่นจะไม่เกิดการทด) คือ $W = B - 1\ ,\ X = 0$
      
      • กรณี $O = 3$
        พิจารณาผลบวกของตัวเลขทางขวามือสุด จะพบว่า $E = 2$ หรือ $E = 4$ เท่านั้น ($1$ กับ $3$ ใช้ไม่ได้เพราะ $N$ กับ $O$ ใช้ไปแล้ว และ $E \geqslant 5$ ใช้ไม่ได้เพราะจะทำให้ $T \geqslant 3 + 5 = 8$ เกิดการทดในเลขฐาน $7$)
        
        แต่ $E = 4$ ก็ยังใช้ไม่ได้ เนื่องจากจะได้ $T = 4 + 3 = 7$ ใช้ไม่ได้เพราะไม่มีในเลขฐาน $7$
        
        จึงเหลือเพียงกรณีเดียวคือ $E = 2$ จะได้ $T = 2 + 3 = 5$
        นั่นคือผลเฉลยในกรณีนี้คือ $312_7 + 563_7 = 1205_7$
        
      • กรณี $O \geqslant 4$
        กรณี $E = 2$ จะได้ $T = 2 + O$ ซึ่งใช้ได้เพราะ $W = (2O + 1) - 1 > T = 2 + O$ เมื่อ $O \geqslant 4$
        กรณี $E = 3$ จะได้ $T = 3 + O$ ซึ่งใช้ได้เพราะ $W = (2O + 1) - 1 > T = 3 + O$ เมื่อ $O \geqslant 4$
        นั่นคือจะได้ผลเฉลยมากกว่าหนึ่งแบบ จึงใช้ไม่ได้
2. บวกแล้วมีทด หรือ $E + O = B + T$ -------- (2)
   
   พิจารณาผลบวกของตัวเลขทางขวามือถัดมาตัวที่สอง แบ่งได้เป็น $2$ กรณีคือ
   1. บวกแล้วไม่มีทด หรือ $2 + W = X$ -------- (2.a)
      
      กรณีนี้จะได้ $O + T = B + E$
      บวก $O$ ทั้งสองข้าง และใช้ผลของ (2) จะได้
      $\begin{array}{rcl}
      O + T + O & = & B + (B + T) \\
      O & = & B
      \end{array}$
      ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะเลขฐาน $B$ จะมีเลขโดดตัวที่มากที่สุดคือ $B - 1$
      
   2. บวกแล้วมีทด หรือ $2 + W = B + X$ -------- (2.b)
      
      กรณีนี้จะได้ $1 + O + T = B + E$
      บวก $O$ ทั้งสองข้าง และใช้ผลของ (2) จะได้
      $\begin{array}{rcl}
      1 + O + T + O & = & B + (B + T) \\
      \frac{2O + 1}{2} & = & B
      \end{array}$
      ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะจะได้เลขฐาน $B$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม

ดังนั้นเลขฐานซึ่งทำให้ได้ผลเฉลยเดียวคือ เลขฐาน $7$ และ เลขฐาน $8$