ข้อความเดิมของคุณ aaaa:
--------------------------------------------------------------------------------------------
19. ให้ \( a_1,a_2,\ldots,a_n \) เป็นจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย \( D=\{z:|z|=1\} \) จงพิสูจน์ว่ามีจุด \( z_0\in D \) ซึ่ง
\[
|z_0-a_1|+|z_0-a_2|+\cdots+|z_0-a_n|\geq n
\]
--------------------------------------------------------------------------------------------
จะพิสูจน์โดยใช้ Lemma ต่อไปนี้
\( Lemma \) : ให้ a เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะได้ว่ามีจำนวนเชิงซ้อน \( z_{0} \) ซึ่ง \( |z_{0}|=1 \) และ \( |z_{0}+a|\geq 1 \)
\( Proof \) : ให้ \( a = re^{i\theta} \) เลือก \( z_{0} = e^{i\theta} \) จะได้ z
0 สอดคล้องเงื่อนไขตามต้องการ
ต่อไปจะพิสูจน์โจทย์ข้อ 19
ให้ \[ a = - (\frac{a_{1}+...+a_{n}}{n}) \]
โดย Lemma ข้างบน จะมี \( z_{0} \) บนวงกลมหนึ่งหน่วยซึ่งทำให้
\[ |z_{0} - \frac{a_{1}+...+a_{n}}{n}| \geq 1 \]
ดั้งนั้น \( |z_{0}-a_{1}|+...+|z_{0}-a_{n}| \geq |nz_{0} - (a_{1}+...+a_{n})| \geq n \)
P.S. สังเกตว่า จุด a
i เป็นจุดใดๆบนระนาบเชิงซ้อนก็ได้