ปัญหาเรื่องการหาจำนวนฟังก์ชันทั่วถึงเป็นปัญหาที่น่าสนใจครับ คือถ้าเซต $A$ มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ 5 และเซต $ฺB$
มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ 3 จำนวนฟังก์ชันทั่วถึงจาก A ไป B ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเท่ากับ 150 แต่ถ้าเพิ่มจำนวนสมาชิก
ของเซต $A$ เล่นๆเข้าไปอีก 5 ตัวและเซต$B$ อีก 3 ตัว กลายเป็น $n(A)=10$ และ $n(B)=6$ แล้วให้หาคำตอบใหม่คือนั่งคิดอยู่
นานสองนานก็ยังหาคำตอบไม่ได้ ก็เลยคิดเล่นๆเลยเถิดไปอีกว่า ถ้าเพิ่ม A เท่าใดแล้วก็น่าจะเพิ่ม B เท่านั้นด้วย กลายเป็นว่า
$n(A)=10$ และ $n(B)=8$ ไม่น่าเชื่อเลยครับ ปรากฏว่าพอจะหาคำตอบไหวได้ตั้ง $(750)(8!)$ ฟังก์ชัน......
ขอนำเสนอสูตรการหาเผื่อจะเป็นประโยชน์สำหรับท่านอื่นๆและเพื่อเป็นการตรวจสอบความถูกต้องด้วยนะครับ.........
คือตามความเข้าใจของผมนะครับ ฟังก์ชันทั่วถึงจากAไปB จะหาได้ก็ต่อเมื่อ $n(A)\geqslant n(B)$
ความซับซ้อนของคำตอบของจำนวนฟังก์ชันทั่วถึงจากAไปB น่าจะไม่ได้ขึ้นกับจำนวนสมาชิกของเซต A หรือเซต B
แต่น่าจะขึ้นกับว่าจำนวนสมาชิกของเซต A มากกว่าเซต Bอยู่เท่าใด..........
ผมเลยกำหนดให้ $T(a,r)=$จำนวนฟังก์ชันทั่วถึงจากAไปB โดยที่ $n(A)=a$และ $n(A)-n(B)=r$
1.$T(a,1)=$จำนวนฟังก์ชันทั่วถึงจากAไปB โดยที่จำนวนสมาชิกของเซตA=a และ
จำนวนสมาชิกของเซตB=a-1 เช่น n(A)=10,n(B)=9 เป็นต้น
........$T(a,1)=\frac{a-1}{2} a!$
2.$T(a,2)=$จำนวนฟังก์ชันทั่วถึงจากAไปB โดยที่จำนวนสมาชิกของเซตA=a และ
จำนวนสมาชิกของเซตB=a-2 เช่น n(A)=10,n(B)=8 เป็นต้น
........$T(a,2)=\frac{a!}{24} (3a-5)(a-2)$
....... และกรณี $T(a,3)=$จำนวนฟังก์ชันทั่วถึงจากAไปB โดยที่จำนวนสมาชิกของเซตA=a และ
จำนวนสมาชิกของเซตB=a-3 เช่น n(A)=10,n(B)=7 เริ่มจะซับซ้อนขึ้นเรื่อยๆครับ
ถ้าผิดพลาดตรงไหนชี้แนะด้วยนะครับ
