FE solution
$(m^2+f(n))k=f(m)^2+n$
แทน $m=n$ จะได้ $m^2k+kf(m)=f(m)^2+m$ จัดรูปไปมาหา $f(m)$ ในรูป m จะได้
$f(m)=\dfrac{k \pm \sqrt{k^2-4m(1-k)}}{2}$ สำหรับทุกจำนวนนับ m
ดังนั้น $\sqrt{k^2-4m(1-k)}$ เป็นจำนวนเต็มสำหรับทุกๆ m
ดังนั้น $k=1$
จะได้ $f(m)=m$
เปลี่ยนระบบสมการใหม่ โดยแทย x เป็น f(x) ให้ $P(x,y)$ แทนข้อความ $f(x-f(y))=f(f(y))-2xf(y)+f(x)$
$P(f(x),y) ; f(f(x)-f(y))=f(f(y))-2f(x)f(y)+f(f(x))$------(1)
จาก 1 สลับ x และ y ทำให้ได้ว่า $f(-a)=f(a)$
แทน $x=y$ ใน 1 จะได้ $f(x)^2=f(f(x))$
ดังนั้น จะได้ $f(f(x)-f(y))=(f(x)-f(y))^2$ สิ่งเหลือที่ต้องพิสูจน์ก็คือ f เป็น onto บน $\mathbf{R^{+}}$
ถ้าสรุปได้ก็จะได้ $f(x)=x^2$
แทน $z=t=1$ จะได้
$f(x)+f(y)=x+y$ แล้วก็หา $f(1)=1$ จะได้จาก $x=y=z=t=1$
แทน $y=t=1$ จะได้ $(f(x)+1)(f(z)+1)=(x+1)(z+1)$ แทน $y$ เป็น $z$ จะได้
$f(x)f(y)+f(x)+f(y)+1=xy+x+y+1$ จะได้ $f(x)f(y)=xy=1$ ดังนั้น $f(\dfrac{1}{x})=\dfrac{1}{f(x)}$ จาก $f(x)+f(\dfrac{1}{x})=x+\dfrac{1}{x}$ จะได้ $f(x)=x$
จากนั้นเปลี่ยน $(x+y)(z+t)=(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t})$ แล้วทำเหมือนๆกัน $f(x)=\dfrac{1}{x}$