[กิตติ]

$ a_1+6+ \varepsilon _1+ \varepsilon _2 = a_3 \leq 14 ....(*)$
แสดงว่า $ a_1 \in \{ 1,2,3,...,8\} $ โดย $\varepsilon _1,\varepsilon _2 \geq 0 $

ผมขอลองทำต่อแล้วกัน
ดังนั้น $\quad \varepsilon _1+ \varepsilon _2\leqslant 8-a_1$
จากนั้นแทนค่า$a_1$ลงไปจะได้อสมการทั้งหมด 8 อสมการตามค่าของ$a_1$
เริ่มจากค่า$a_1$ที่มากที่สุดก่อน
$a_1=8$ จะได้ $\quad \varepsilon _1+ \varepsilon _2\leqslant 0$.....มีได้เซตเดียวคือ$\varepsilon _1, \varepsilon _2=0$
$a_1=7$ จะได้ $\quad \varepsilon _1+ \varepsilon _2\leqslant 1$......เกิด2กรณีคือ$\varepsilon _1+ \varepsilon _2=0,\varepsilon _1+ \varepsilon _2=1$ เราได้จำนวนเซตจากกรณีแรกแล้วเหลือหาแต่กรณี$\varepsilon _1+ \varepsilon _2=1$.....เกิดได้ 2เซต รวมแล้วได้$1+2=3$ เซต
$a_1=6$ จะได้ $\quad \varepsilon _1+ \varepsilon _2\leqslant 2$....เกิด3กรณีคือ$\varepsilon _1+ \varepsilon _2=0,\varepsilon _1+ \varepsilon _2=1,\varepsilon _1+ \varepsilon _2=2$ เราได้จำนวนเซตจากกรณีแรกและกรณีสองแล้วเหลือหาแต่กรณี$\varepsilon _1+ \varepsilon _2=2$.....ถ้าประยุกต์เรื่องการแจกของแบบไม่มีคนได้ของ จะได้ว่าเซตที่เกิดขึ้นในกรณีนี้เท่ากับ$\binom{2+2-1}{2-1}=\binom{3}{1} $เกิดได้อีก 3เซต รวมแล้วได้$1+2+3=6$ เซต

สังเกตว่าเป็นไปตามที่คุณpasser-byได้เขียนไว้ จะเกิดกรณีเพิ่มขึ้น
$a_1=5$....จะมีจำนวนเซตเกิดขึ้น เท่ากับ$1+2+3+\binom{4}{1}=1+2+3+4=10 $
$a_1=4$....จะมีจำนวนเซตเกิดขึ้น เท่ากับ$1+2+3+4+\binom{5}{1}=1+2+3+4+5=15 $
$a_1=3$....จะมีจำนวนเซตเกิดขึ้น เท่ากับ$1+2+3+4+5+\binom{6}{1}=1+2+3+4+5+6=21 $
$a_1=2$....จะมีจำนวนเซตเกิดขึ้น เท่ากับ$1+2+3+4+5+6+\binom{7}{1}=1+2+3+4+5+6+7=28 $
$a_1=1$....จะมีจำนวนเซตเกิดขึ้น เท่ากับ
$1+2+3+4+5+6+7+\binom{8}{1}=1+2+3+4+5+6+7+8=36 $

รวมทั้งหมดเกิดได้เท่ากับ $1+3+6+10+15+21+28+36=120$ เชต

ขอบคุณคุณpasser-byมากครับที่ช่วยชี้ทางสว่างให้