[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jean merin

เพิ่มเติมต่ะ
1.กำหนดให้ 0,1,2,5,6,8,9 หมุน 180 องศาแล้วได้ 0,1,2,5,9,8,6 จงหาว่า 9105 หมุน 180 องศาแล้วได้เลขอะไร...(จำช้อยไม่ได้ )

x.(ข้อสอบภาษาอังกฤษ) ถ้า $x^2+(sin\theta) x+1=0$ มีรากคือ aและb
$x^2+(cos\theta) x-1=0$ มีรากคือ cและd

แล้ว จงหาค่าของ $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}$

solution

$a+b = -\sin \theta$
$ab = 1$
$c+d=-\cos \theta$
$cd = -1$
$1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 1/d^2 = \frac{(a+b)^2-2ab}{(ab)^2} + \frac{(c+d)^2-2cd}{(cd)^2} = \sin^2 \theta -2 + \cos^2 \theta + 2 = 1$

4.นักแบดมินตัน 29 คน จัดแบ่งทั้งหมด 3ทีม ถ้าการแข่งขันเป็นการแข่งที่ไม่มีการแข่งในทีมเดียวกันเลย และเมื่อแข่งแต่ละคู่แล้ว จะแข่งคู่ละ1ครั้งเท่านั่น จงหาว่า จะมีการแข่งขันมากที่สุดกี่รอบ

solution

ให้นักกีฬาทีมแรกมี x คน, ทีมที่สองมี y คน, ทีมที่สามมี 29-x-y คน

ดังนั้นจะมีการแข่งขันทั้งหมด $xy+x(29-x-y)+y(29-x-y)$ ครั้ง

ให้ $f(x, y) = xy+x(29-x-y)+y(29-x-y) = \frac{29^2}{3} - [(x+\frac{y-29}{2})^2+\frac{3}{4}(y-\frac{29}{3})^2] \le \frac{29^2}{3} = \frac{841}{3} = 280\frac{1}{3}$

ซึ่งเกิดเมื่อ $x = y = \frac{29}{3}$

นั่นคือการแข่งขันสูงสุดจะต้องไม่เกิน 280 ครั้ง

และเนื่องจาก $\frac{29}{3} = 9\frac{2}{3}$ ดังนั้นถ้าเลือก $x=y=10$ จะได้ f(x, y) = 280 ครั้งจริง

x.(ข้อสอบภาษาอังกฤษ) ถ้า $\frac{x-y}{y-z}+\frac{y-z}{z-x}+\frac{z-x}{x-y}=299$ แล้ว
จงหาค่าของ $(\frac{x-y}{y-z})^2+(\frac{y-z}{z-x})^2+(\frac{z-x}{x-y})^2=?$

solution

ให้ $a = x-y, b = y-z, c = z-x$

ดังนั้น $a/b + b/c + c/a = k$ โดยที่ $a+b+c = 0$

แล้ว $(a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2 + 2(a/c + b/a + c/b)= k^2$

แต่ว่า $(a/b + b/c + c/a) + (a/c + b/a + c/b) = a(1/b + 1/c) + b(1/c+1/a) + c(1/a+1/b)$

$= -(a^3+b^3+c^3)/abc = -3abc/abc = -3$

ดังนั้น $(a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2 + 2(-3 - k) = k^2$

จึงได้ $(a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2 = (k+1)^2 + 5 = (299+1)^2+5$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Leng เล้ง

$P=\overline{abcabc} โดย P เกิดจากผลคูณของจำนวนเต็มบวก 3จำนวนเรียงกัน จงหาผลรวมทุกค่าของ P $

solution

$\overline{abcabc} = 1001\overline{abc} = 7 \times 11 \times 13 \overline{abc}$

$13 \times 1 = 13$ แล้ว $11 \times 12 \times 13$ ไม่ได้

$13 \times 2 = 26$ แล้ว ไม่มีตัวประกอบของ 11 ที่ใกล้ ๆ เลย

...

$13 \times 6 = 78$ แล้ว $77 \times 78 \times 79 = 7\times 11 \times 13 \times 474$

หรือ $76 \times 77 \times 78 = 7 \times 11 \times 13 \times 456$

ดังนั้น P = 456456 หรือ 474474

ที่เหลือคือ $13 \times 7$ ใช้ไม่ได้ และ $13 \times 8$ ขึ้นไป จะมากกว่า 6 หลัก จึงหมดแล้ว

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Maths Aprrentice

กำหนด $x\in R$ และ $y = (19-x)(17-x)(17+x)(19+x)$
ค่าของ y ที่เป็นไปได้น้อยที่สุดคือเท่าไหร่

Let x be a real number and $y = (19-x)(17-x)(17+x)(19+x)$, then what is the smallest possible value of y?

ผมทำมาได้ $-1296$ ได้เหมือนกันป่าวอะครับ

$y = (x^2 - \frac{17^2 + 19^2}{2})^2 - \frac{(17^2 - 19^2)^2}{4}$

ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $- \frac{(17^2 - 19^2)^2}{4} = -36^2 = -1296$