อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warut
แนวคิดข้อนี้ของผมคือ จาก Wilson's Theorem เรารู้ว่าจำนวนเฉพาะ $p$ หาร $(p-1)!+1$ ลงตัว ดังนั้นเราต้องการ $k\ne p-1$ ที่ $p\mid k!+1$ แต่หาแบบนี้ยาก ผมเลยคิดในมุมกลับแทน คือเลือกให้ $k=a$ แล้วเลือก $p$ เป็นตัวประกอบเฉพาะของ $a!+1$ โดยพยายามให้ $a\ne p-1$ ซึ่งทางหนึ่งก็คือ เลือก $a$ เป็นจำนวนคี่ที่มากกว่า $1$ ซึ่งจะทำให้มันมี parity ตรงข้ามกับ $p-1$
เมื่อเราได้คำตอบ $(p-1,a)$ มาอันนึงแล้ว เราสามารถสร้างคำตอบอันต่อไปได้โดยวิธีเดียวกัน แต่ที่สำคัญเราต้องแสดงว่า คำตอบใหม่นั้นไม่ซ้ำเดิม ซึ่งทางหนึ่งคือเลือก $k=p$ คำตอบใหม่ก็จะเป็น $(q-1,p)$ เมื่อ $q$ คือตัวประกอบเฉพาะของ $p!+1$ ซึ่งคำตอบใหม่นี้ไม่มีทางซ้ำเดิม เพราะ $p>a$ และ $q>p$ ครับ
|
ทำได้ดีมากๆเลยครับ แนวคิดดีมาก และยังรอบคอบด้วย (ซึ่งหลายๆคนอาจจะไม่)
ส่วนข้อ 60 ขอคำตอบที่ $n,k$ ไม่เป็น 1 ละกันนะครับ
เพิ่มโจทย์สักหน่อย
62. สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ แต่ละตัว จงหาหรม.ของ $n!+1$ และ $(n+1)!$
63. ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $a,n$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ $2^p+3^p=a^n$ จงหาค่า $n$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
64. ให้ $a$ เป็นจำนวนเต็ม และ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก นิยาม $z_a(x,y)=\frac{x^2+y^2+a}{xy}$
(a) จงแสดงว่ามี $a$ เป็นอนันต์ตัว ซึ่ง $z_a(x,y)$ เป็นจำนวนเต็ม สำหรับ $(x,y)$ เป็นอนันต์คู่
(b) จงหา $a$ ทั้งหมด ซึ่งเซต $E(a)$ ของค่า $z_a(x,y)$ ทั้งหมดที่เกิดขึ้น เป็นเซตจำกัด