สมมติว่าจำนวนจริง A, B, C, D, E, F ที่ทำให้ P(x,y) = A$x^2$ + B$y^2$ + Cxy + Dx + Ey + F = 0 มีสมบัติดังกล่าว
จะได้ว่า
f(1,1) = A + B + C + D + E + F
f(1,2) = A + 4B + 2C + D + 2E + F
f(1,3) = A + 9B + 3C + D + 3E + F
f(2,1) = 4A + B + 2C + 2D + 2E + F
f(2,2) = 4A + 4B + 4C + 2D +2E + F
f(2,3) = 4A + 9B + 6C + 2D +3E + F
f(3,1) = 9A + B + 3C + 3D + E + F
f(3,2) = 9A + 4B + 6C +3D + 2E + F
f(3,3) = 9A + 9B + 9C + 3D + 3E + F
ดังนั้น
2A = -3f(1,1) - 2f(2,1) + f(3,1) นั่นคือ 2A เป็นจำนวนเต็ม
2B = -3f(1,2) - 2f(1,2) + f(1,3) ฎ 2B เป็นจำนวนเต็ม
C = f(1,1) - f(2,1) - f(2,2) + f(3,2) - 2A ฎ C เป็นจำนวนเต็ม
2D = -f(1,1) + f(3,1) - 8A - 2C ฎ 2D เป็นจำนวนเต็ม
2E = -f(1,1) + f(1,3) - 8B - 2C ฎ 2E เป็นจำวนเต็ม
F = f(2,2) - 4A - 4B -4C - 2D - 2E ฎ F เป็นจำนวนเต็ม
เพราะฉะนั้น
f(1,1)+f(1,2)+f(1,3)+f(2,1)+f(2,2)+f(2,3)+f(3,1)+f(3,2)+f(3,3) = 1+2+3+4+5+6+7+8+10
42A + 42B + 36C + 18D + 18E + 9F = 46
3(14A + 14B + 12C + 6D + 6E + 3F) = 46
เนื่องจาก 14A + 14B +12C + 6D+ 6E +3F เป็นจำนวนเต็ม
จะได้ว่า 46 หารด้วย 3 ลงตัว เกิดข้อขัดแย้ง
นั่นคือไม่มีพหุนามที่มีสมบัติดังกล่าว
__________________
สนใจคณิตศาสตร์ครับ ช่วยชี้แนะด้วยครับ
|