[NaPrai]

$\boxed{\text{Note: หลักหน่วยของกำลังสองสมบูรณ์ เป็นได้แค่ } 0,1,4,5,6,9}$

เนื่องจากเราต้องการทราบค่ามากสุดซึ่งการเปรียบเทียบค่านั้น แน่นอนอย่างแรกที่จะพิจารณาคือหลักร้อย

สมมติว่า จำนวนนั้นเขียนในระบบเลขฐานสิบเป็น $abc$

โดยคุณสมบัติจากโจทย์ได้ว่า $\boxed{100a+10b+c=a+b^2+c^3}$ --- (I)

$a+b^2+c^3\leqslant 9+9^2+9^3=819$ จาก (I) ได้ว่า $a \le 8$

ถ้า $a=8$ จะได้ $c=9$ เพราะถ้าไม่เป็นเช่นนั้น ค่าฝั่งขวาของ (I) จะน้อยกว่า $800$ แน่นอน จากหลักหน่วยของฝั่งซ้ายของ (I) คือ $9$ และหลักหน่วยของ $a+c^3$ คือ $7$ ดังนั้น $b^2$ หลักหน่วยต้องเป็น $2$ ซึ่งขัดแย้งกับที่ Note ไว้

ถ้า $a=7$ จะได้ $c=9$ เพราะถ้าไม่เป็นเช่นนั้น ค่าฝั่งขวาของ (I) จะน้อยกว่า $700$ แน่นอน จากหลักหน่วยของฝั่งซ้ายของ (I) คือ $9$ และหลักหน่วยของ $a+c^3$ คือ $6$ ดังนั้น $b^2$ หลักหน่วยต้องเป็น $3$ ซึ่งขัดแย้งกับที่ Note ไว้

ถ้า $a=6$ จะได้ว่า $c\not= 9$ เพราะค่าฝั่งขวาจะเกิน $699$ แน่นอน ดังนั้น $a+b^2+c^3 \le 6+9^2+8^3=599$ ขัดแย้งอย่างชัดเจน เพราะค่าฝั่งขวายังไม่ถึง $600$

ถ้า $a=5$ จะได้ว่า $c=8$ เพราะไม่เช่นนั้นจะทำให้ค่าฝั่งขวามากกว่า $599$ หรือน้อยกว่า $500$ ตอนนี้พิจารณาหลักหน่วยของ $a+c^3$ คือ $7$ ดังนั้นหลักหน่วยของ $b^2$ คือ $1$ จะได้ $b=1,9$

ณ ตอนนี้ถึงบทสรุปแล้ว ตรวจสอบว่าค่า $598$ มีคุณสมบัติตามสมการ (I) หรือไม่ ถ้าใช่ $598$ ก็จะเป็นแชมป์ค่ามากสุด ซึ่งทำให้ได้คำตอบ พบว่า $598=5+9^2+8^3$ จริง

ดังนั้น คำตอบคือ $598$