-พีชคณิต-
1.ให้ $x_{1},x_{2},x_{3},...x_{2014}$ เป็นรากที่ไม่เท่ากับ$1$ ของพหุนาม $P(x)=x^{2015} -1 \\$
จงแสดงว่า $\frac{1}{1-x_{1}}+\frac{1}{1-x_{2}}+...+\frac{1}{1-x_{2014}}=1007$
2. จงแยกตัวประกอบของ $x^{3}+y^{3}+z^{3}-xy(x+y)-yz(y+z)-zx(z+x)+2xyz$
3. $\sum_{x=1}^{2015} \frac{x(x+1)^{2}x+2^{2}+x^{2}+x+1}{(x+1)^{2}(x+2^{2})}$ มีค่าเท่าไร
4. $x+y+z=p\\
x^{2}+y^{2}+z^{2}=p^{2}\\
x^{3}+y^{3}+z^{3}=3p^{2}-2p^{3}\\$
เมื่อ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า2 จงหาค่า $x,y,z$ ที่สอดคล้องกับระบบสมการนี้
-ทฤษฎีจำนวน-
1. ให้ $x\equiv 3 (mod\,5)\\
x\equiv 2 (mod\,6)\\
x\equiv 4 (mod\,7)\\$
จงหาผลเฉลยของระบบสมการนี้
2. $a^{\phi(m)} \equiv 1 (mod\,m)\\
a^{\phi(n)} \equiv 1 (mod\,n)\\
จงแสดงว่า a^{\phi(mn)} \equiv 1 (mod\,mn)$
3. จงแสดงว่า ($2^{2^{p}}$$+1$, $2^{2^{q}}$$+1$, $2^{2^{r}}$$+1$)
เมื่อ $p,q,r$ เป็นจำนวนนับที่แตกต่างกัน
4. $ให้\,m,n\in\mathbb{N} \qquad ถ้า \,m|n\\
จงแสดงว่า \,\phi(m)|\phi(n)$
-สมการเชิงฟังก์ชัน-
1. หา $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} \,ทั้งหมดที่สอดคล้อง$
$f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1$ โดย $f(1)=2$
2. หา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\, ทั้งหมดที่สอดคล้อง$
$f(xf(x)+f(y))=y+f(x)^{2}$
3. ให้ $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\,ซึ่งสอดคล้อง$
$f(xy+x+y)=f(xy)+f(x)+f(y)$
จงแสดงว่า $f(x+y)=f(x)+f(y)$
-คอมบินาทอริก-
1. มีไพ่สำรับหนึ่งซึ่งมีไพ่อยู่$2n$ ใบ เขียนหมายเลขบนไพ่ในสำรับนี้ ตั้งแต่$1,2,3,...,n$ โดยแต่ละหมายเลขจะเขียนบนไพ่$2$ใบ
ทำการสับไพ่ในสำรับนี้ จงหาจำนวนวิธีสับไพ่ โดยที่ไพ่หมายเลขเดียวกันจะไม่อยู่ติดกันเลย
2. ให้เซต $(x,y)|x,y\in{0,1,2,...,n}$ เป็นเซตของจุดบนระนาบ
จงแสดงว่า มีเซตขนาด$3n$ ซึ่งไม่มีสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีจุดมุมอยู่ในเซตนี้ทั้ง$4$จุดได้
3. ให้เซต $A$ และเซต $B$ เป็นเซตจำกัดของจุดบนระนาบโดยไม่มีจุดใดร่วมกันเลย เมื่อลากเส้นผ่าน$2$จุดใดๆ ใน$B$
ก็จะผ่านจุดใน$A$ อย่างน้อย$1$จุด และ เมื่อลากเส้นผ่าน$2$จุดใดๆ ใน$A$ ก็จะผ่านจุดใน$B$ อย่างน้อย$1$จุด
จงแสดงว่า $AB$ จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
มีเรขาคณิตด้วยนะคะ แต่แนบรูปไม่เป็นTT ซักพักจะลงให้ค่ะ
