[FranceZii Siriseth]

FE
1.$f(x)=x+1 ,\quad \forall x \in \mathbb{Q}$

2.$P(x,y) : f(xf(x)+f(y))=y+f(x)^{2}$

$P(0,y) : f(f(y))=y+f(0)^2 $ f is a bijection -----1

$\exists u \in \mathbb{R}$ such that $f(u)=0$

$P(u,u) : f(0)=u$ แทนกลับใน 1

$f(f(0))=0=f(0)^2$ ดังนั้น $f(0)=0$

$P(0,y) : f(f(y))=y$

$P(f(x),0) : f(f(x)x)=x^2=f(x)^2$ จะได้ว่า $f(x)=x,-x \quad \forall x \in \mathbb{R} $

$\exists a\not= b \in \mathbb{R} , f(a)=a,f(b)=-b$

แทนค่ากลับจะได้ $a=b=0$ ขัดแย้ง จะได้ว่า ถ้า $a\not=b$ แล้ว $f(a)=f(b)$

แทนค่ากลับเพื่อตรวจคำตอบจะได้ $f(x)=x,-x \quad \forall x \in \mathbb{R} $