อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ khlongez
1. กำหนดให้ G เป็นกรุปซึ่งมีกรุปย่อยเพียง 2 กรุปย่อยคือ G และ {e} เท่านั้น ( e คือสมาชิกเอกลักษณ์ของ G )
จงพิสูจน์ว่า G เป็นกรุปวัฏจักรและ |G| เป็นจำนวนเฉพาะ
2. กำหนดให้ G เป็นกรุปวัฏจักรที่มี a เป็นตัวก่อกำเนิดและ |G| = n ถ้า m เป็นจำนวนเต็มบวกที่ m|n จงพิสูจน์ว่าจะต้องมีกรุปย่อย H ของ G ที่ |H| = m
3.กำหนดให้ G เป็นกรุป และ a,b เป็นสมาชิกของ G โดยที่ a*b = b*a ถ้า O(a) = m และ O(b) = n โดยที่ห.ร.ม.ของ m และ n เท่ากับ 1 จงพิสูจน์ว่า O(a*b) = mn
ขอบคุณมากๆค่ะ  |
1. ให้ $a\neq e$ จากเงื่อนไขโจทย์ เนื่องจาก $<a>\neq\{e\}$ จะได้ทันทีว่า $<a>=G$
ดังนั้น $G$ เป็น cyclic group แยกพิจารณาเป็นสองกรณี
1. $G$ infinite เป็นไปไม่ได้ เพราะว่า $<a^2>$ จะเป็น proper subgroup
2. $G$ finite สมมติว่า $p$ เป็นตัวประกอบเฉพาะของ $|G|$
โดย Cauchy's Theorem จะมี $x\in G$ ซึ่ง $o(x)=p$
แต่จากเงื่อนไขโจทย์จะได้ทันทีว่า $<x>=G$
ดังนั้น $|G|$ เป็นจำนวนเฉพาะ
2. ให้ $H=<a>$ ก็จบแล้วล่ะลองไปดูนิยามของ $<a>$