[Beatmania]

$ax^2+bx+c=y\rightarrow ax^2+(b+1)x+c=x+y$

$ay^2+by+c=x\rightarrow ay^2+(b+1)y+c=x+y$

$a(x^2-y^2)+(b+1)(x-y)=0\rightarrow(x-y)(a(x+y)+b+1)=0$

ถ้าหากมี $x\neq y$ ที่ทำให้ระบบสมการเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ $x+y=\frac{-b-1}{a}$

ทำให้ได้ว่าระบบสมการที่ต้องการมีคำตอบเป็นจำนวนจริง ก็ต่อเมื่อสมการ $ax^2+(b+1)x+c=\frac{-b-1}{a}$ มีคำตอบเป็นจำนวนจริง

นั่นก็คือ $ax^2+(b+1)x+(c+\frac{b+1}{a})=0$ มีคำตอบเป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน

$(b+1)^2>4a(c+\frac{b+1}{a})\Leftrightarrow (b-1)^2>4ac+4$

43.มีพหุนาม $P(x)$ โดยที่ $P(0)=2015$ และ $P(x^2+1)=P(x)^2+1\forall x \in \mathbb{R}$ หรือไม่?

44.ให้ $P(x)$ เป็นพหุนาม และ $a,b,c,i,j,k\in \mathbb{R}$ โดยที่ $abc\neq 0$ และมีสมบัติว่าสำหรับทุกจำนวนจริง $x$

$$P(ax+i)+P(bx+j)=P(cx+k)$$

จงแสดงว่าพหุนาม $P(x)$ มีรากเป็นจำนวนจริงอย่างน้อย $1$ ราก