[Beatmania]

แจก Set เรขาเผื่อมีคนสนใจครับ

1. ให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าที่มีวงกลม $\Omega $ ล้อมรอบ

เส้นแบ่งครึ่งมุมภายใน $BAC$ ตัดกับ $BC$ และ $\Omega$ ที่จุด E,F ตามลำดับ

วงกลมแนบในสามเหลี่ยม $ABC$ สัมผัสด้าน $BC$ ที่จุด $D$

ให้ $\omega,\Gamma_A$ แทนวงกลมล้อมรอบ $DEF$ และวงกลมแนบนอกตรงข้ามมุม $A$

ถ้าหาก $\omega\cap \Omega=F,T$ และ $\omega\cap \Gamma_A=S_1,S_2$

จงแสดงว่า $A,T,S_1$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน หรือ $A,T,S_2$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (USATST2016 #2)

2. ให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีวงกลม $\Omega $ ล้อมรอบ

ให้ $\omega_A$ แทนวงกลมที่สัมผัสด้าน $AB,AC$ และสัมผัส $\Omega$ แบบภายในที่จุด $T_A$

เรานิยาม $\omega_B,\omega_C,T_B,T_C$ ในทำนองเดียวกัน

จงแสดงว่า $AT_A,BT_B,CT_C$ ตัดกันที่จุดๆ เดียว (Japan MO 2007)

3. เราจะเรียกจุด $P$ ในสามเหลี่ยมมุมแหลมด้านไม่เท่า $ABC$ ว่า "มหัศจรรย์" ถ้าหากสองคล้องกับสมบัติสองข้อต่อไปนี้

1.) ถ้าหากเราลาก $PX\perp BC,PY\perp CA,PZ\perp AB$ โดยที่ $X,Y,Z$ อยู่บนด้าน $BC,CA,AB$

แล้ว $AX,BY,CZ$ ตัดกันที่จุดเดียว

2.) $\angle PAB+\angle PBC+\angle PCA = \angle 90^{\circ}$

จงหาทางเดินจุด (โลคัส) ของจุดมหัศจรรย์ (USATST2016 #6)

4. ให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีวงกลม $\Omega $ ล้อมรอบ

เส้นแบ่งครึ่งมุมภายใน $ABC$ และมุม $BCA$ ตัดด้านตรงข้ามที่จุด $E,F$ ตามลำดับ

เส้นตรง $EF$ ตัดกับ $\Omega$ ที่จุด $M,N$ ให้ $I$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน

จงแสดงว่ารัศมีของวงกลมล้อมรอบ $MIN$ มีขนาดเป็นสองเท่าของรัศมี $\Omega $ (Russia 2006)

5. ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าที่มี $I$ เป็นจุด ศก วงกลมแนบใน

วงกลมแนบในสัมผัสด้าน $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ ที่จุด $D$, $E$, $F$, ตามลำดับ

ให้ $M$ เป็นจุดกึ่งกลางด้าน $\overline{BC}$, $Q$ เป็นจุดในวงกลมแนบในโดยที่ $\angle AQD = 90^{\circ}$

ให้ $P$ เป็นจุดภายในสามเหลี่ยมและอยู่บนเส้น $AI$ โดยที่ $MD = MP$

จงแสดงว่า $\angle PQE = 90^{\circ}$ หรือ $\angle PQF = 90^{\circ}$ (USATST2015 #1)