อันนี้จะเป็น A นะครับ หาโจทย์ยากเหมือนกันนะ 55
1.) พิจารณาระบบสมการที่มี $x_1,x_2,x_3$ เป็นตัวแปรตามด้านล่าง
$$a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0$$
$$a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0$$
$$a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0$$
กำหนดให้ $a_{ij} > 0$ ก็ต่อเมื่อ $i=j$ และผลรวม สปส ในแต่ละสมการมีค่ามากกว่าศูนย์
จงแสดงว่าระบบสมการนี้มีคำตอบแค่หนึ่งชุดคือ $(x_1,x_2,x_3)=(0,0,0)$ (ISL 1965)
2.) กำหนดให้ $a_0<a_1<...$ เป็นลำดับอนันต์ของจำนวนนับ
จงแสดงว่าจะมีจำนวนนับ $n$ เพียงจำนวนเดียวที่ทำให้
$$a_n<\frac{a_0+a_1+...+a_n}{n}<a_{n+1}$$
(IMO 2014 #1)
3.) สำหรับเซต $A,B$ ที่ไม่เป็นเซตว่าง เรากำหนดให้ $A+B=(a+b|a\in A,b\in B)$
เป็นไปได้หรือไม่ที่จะเขียน $\mathbb{Q}$ ในรูปของ $A\cup B\cup C$
โดยที่เซตทั้งสาม disjoint กัน และ $A+B,B+C,C+A$ disjoint กันเช่นกัน
(ISL 2012 A2)
4.) กำหนดให้
$$f(x)=\sum_{i = 1}^{n} a_ix^i,g(x)=\sum_{i = 1}^{n} \frac{a_i}{2^i-1} x^i$$
โดยที่ $n$ เป็นจำนวนนับ $a_1,a_2,...,a_n$ เป็นจำนวนจริงและ $a_n\neq 0$
ถ้าหาก $1,2^{n+1}$ เป็นรากของ $g$ จงแสดงว่า $f$ มีรากที่เป็นบวกและมีค่าน้อยกว่า $2^n$
(USATST 2004)
5.) จงหาพหุนาม $P(x)$ ที่มี สปส เป็นจำนวนจริงทั้งหมดโดยที่
$$P(\sqrt{2}x)=P(x+\sqrt{1-x^2})$$
สำหรับทุกจำนวนจริง $x\in[-1,1]$ (USATSTST 2015 #3)