มีคนขอ Combi มาครับ 555
1.) พิจารณาส่วนของเส้นตรง $n$ เส้นที่สองเส้นใดๆ ตัดกัน และไม่มีสามเส้นใดที่ตัดกันจุดเดียว
เจฟจะวางกบที่ปลายส่วนของเส้นตรงแต่ละเส้น และวางหันหน้าไปยังปลายอีกด้านหนึ่งขอส่รวนของเส้นตรง
เมื่อเจฟปรบมือ กบจะกระโดดโดยไปยังจุดตัดจุดแรกที่เจอ
เขาต้องการวางกบโดยที่ไม่มีกบสองตัวใดๆ อยู่ในตำแหน่งเดียวกันหลังการปรบมือแต่ละครั้ง
จงแสดงว่า
เจฟจะสามารถวางกบตามที่เขาต้องการได้เสมอเมื่อ $n$ เป็นเลขคี่ และ
เจฟจะไม่สามารถทำตามความต้องการเขาได้ ถ้าหาก $n$ เป็นจำนวนคู่
(IMO2016 #6)
2.) เราจะเรียกรูปหลายเหลี่ยม $P$ ว่า Lattice Polygon ถ้าหากความยาวด้านทุกด้านเป็นจำนวนนับ
และสองด้านที่ติดกันใดๆ จะตั้งฉากกัน
ถ้าหากเราสามารถปู Lattice Polygon P ได้ด้วย S-tetrominoes ได้
จงแสดงว่าไม่ว่าอย่างไรก็ตาม ถ้าหากเราใช้ S-tetrominoes และ Z-tetrominoes ในการปู P
เราจะต้องใช้ Z-tetrominoes เป็นจำนวนคู่ชิ้นเสมอ (ISL 2014 C3)
ปล.ข้อนี้ไปหารูป tetrominoes กันเองนะครับๆ = =" แนบรูปไม่เป็น
3.) มีตารางขนาดอนันต์ แต่ละช่องจะถูกระบายด้วยสีสีหนึ่งจากสีทั้งหมด $1201$ สี
โดยที่มีสมบัติว่า สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาวรอบรูป 100 ใดๆ ที่คลุมช่องในตารางสนิท
จะไม่มีสองช่องใดๆ ในสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้ที่มีสีเดียวกัน
จงแสดงว่า ข้อความด้านบนเป็นจริงสำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด $1\times1201$ และ $1201\times 1$
(Balkan MO 2016 #4)
4.) ให้ $x$ เป็นจำนวนอตรรกยะ จงแสดงว่ามีจำนวนเต็ม a,b โดยที่ $\frac{1}{2555}<ax+b<\frac{1}{2012}$
(TMO9 #10 / Special Case of Kronecker's Theorem)
5.) ให้ $X_1, X_2, \ldots, X_{100}$ เป็นสับเซตที่ไม่ใช่เซตว่างและแตกต่างกันของ $S$
สำหรับทุก $i=1,2,...,99$ , $X_i\cap X_{i+1}=\emptyset$ และ $X_i\cup X_{i+1}\neq S$
จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $|S|$ (USAMO2016 #1)