จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่ \( 0 < x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 < 7 \)
= จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่ \( 0 < x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \)
- จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่มี \( x_i > 6 \)
จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่ \( 0 < x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \) คิดตาม Stars and Bar จะได้จำนวนวิธีเป็น \( {20 \choose 5} \) วิธี
จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่มี \( x_i > 6 \) คิดดังนี้
จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่ \( x_1 > 6 \) หาได้ด้วยการหัก 6 ออกจาก 21 แล้วนำไปรวมกับ \( x_1 \) เลย จากนั้นคิดตาม Stars and Bar จะได้จำนวนวิธีเป็น \( {14 \choose 5} \) วิธี
ในทำนองเดียวกันกับ จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่ \( x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 > 6 \) ก็เป็น \( {14 \choose 5} \) วิธี
ดังนั้น จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่มี \( x_i \) 1 ตัวที่กำหนด มีค่ามากกว่า 6 คือ \( {6 \choose 1}{14 \choose 5} \) วิธี
จำนวนวิธีที่นับได้นี้ ดูเหมือนว่าจะเป็นจำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่มี \( x_i > 6 \) แต่มันไม่ใช่ เพราะเรามีการนับเกิน เช่น กรณีที่ \( x_1 = 7, x_2 = 8 \) จะถูกนับซ้ำ 2 ครั้ง
ครั้งหนึ่งคือ นับในกรณีที่ \( x_1 > 6 \)
และอีกครั้งในกรณีที่ \( x_2 > 6 \)
จึงต้องหักกรณีที่นับซ้ำออกไป นั่นก็คือ
จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่ \( x_1, x_2 > 6 \) หาได้ด้วยการหัก 12 ออกจาก 21 แล้วนำไปรวมกับ \( x_1, x_2 \) ตัวละ \( 6 \) เลย จากนั้นคิดตาม Stars and Bar จะได้จำนวนวิธีเป็น \( {8 \choose 5} \) วิธี
ในทำนองเดียวกันกับ จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่ \( x_1, x_3 > 6, x_1, x_4 > 6, x_1, x_5 > 6 \ldots \) ก็เป็น \( {8 \choose 5} \) วิธี
ดังนั้น จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่มี \( x_i \) 2 ตัวที่กำหนด มีค่ามากกว่า 6 คือ \( {6 \choose 2}{8 \choose 5} \) วิธี
จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่มี \( x_i > 6 \)
= จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่มี \( x_i \) 1 ตัวที่กำหนด มีค่ามากกว่า 6
- จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่มี \( x_i \) 2 ตัวที่กำหนด มีค่ามากกว่า 6
= \( {6 \choose 1}{14 \choose 5} - {6 \choose 2}{8 \choose 5} \)
ดังนั้น จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) โดยที่ \( 0 < x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 < 7 \)
= \( {20 \choose 5} - {6 \choose 1}{14 \choose 5} + {6 \choose 2}{8 \choose 5} = 4332 \)
หรือหากจะดูจากเฉลยของกร แล้วตีความหมายจาก \( {20 \choose 15} - {6 \choose 1}{14 \choose 9} + {6 \choose 2}{8 \choose 3} \) ก็ได้ จะได้ผลลัพธ์เดียวกัน
