Three Famous Problems of Ancient Greek mathematics
สามสุดยอดปัญหา ในสมัยกรีกโบราณ
(น่าเสียดายที่พวกเราเกิดช้าไป เลยไม่ทันได้ช่วยกันคลี่คลายปัญหาทั้งสามข้อ
เนื่องจากนักคณิตศาสตร์ ได้ค้นพบคำตอบของปัญหาจนครบทุกข้อแล้ว ตั้งแต่ช่วงศตวรรษที่ 19
หากใครอยากจะดังจากการแก้ปัญหาสามข้อนี้ ต้องขอแสดงความเสียใจมา ณ ที่นี้ด้วย)
1. Angle trisection
การแบ่งมุมใดๆ เป็นสามส่วนเท่าๆกัน
สำหรับข้อแรกนี้ เป็นเรื่องเกี่ยวกับการแบ่งมุม ซึ่งในสมัยนั้น ได้มีวิธีสำหรับการแบ่งมุมใดๆเป็นสองส่วนเท่าๆกันแล้ว
และแน่นอนว่าเราสามารถแบ่งมุมออกเป็น 4,8,16,... ส่วนเท่าๆกันได้ ด้วยวิธีเดียวกัน
แต่ปัญหาที่ยังคิดไม่ตก ก็คือ มีวิธีในการแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนเท่าๆกันหรือไม่
ซึ่งเครื่องมือที่มีในยุคนั้น มีแค่วงเวียนและสันตรงเท่านั้น (compass and straightedge)
Carl Friedrich Gauss ได้เป็นคนแรกที่ออกมาประกาศว่า ไม่สามารถทำได้ แต่ยังไม่มีข้อพิสูจน์
ซึ่งคนที่พิสูจน์ได้อย่างเป็นทางการคนแรก คือ Pierre Wantzel นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส
________________________________________________________________
2. Doubling the cube (Delian problem)
การสร้างลูกบาศก์ให้มีปริมาตรเป็นสองเท่าจากของเดิม
ปัญหานี้เกี่ยวกับรูปทรงสามมิติ แต่ก็สามารถคิดได้บนระนาบสองมิติเช่นกัน
นั่นก็คือ การสร้างความยาว $\sqrt[3]{2}$ เท่าของความยาวเดิมนั่นเอง
ข้อนี้ดูผิวเผิน เหมือนจะไม่ยากอะไร เพราะสำนักของ Pythagoras ยังสร้าง ความยาว $\sqrt{2}$ ได้
แต่ในความจริงแล้ว การสร้างความยาว $\sqrt[3]{2}$ นั้นช่างยากกว่าเหลือเกิน
Carl Friedrich Gauss เป็นคนแรกที่ออกมาประกาศให้ทุกคนได้ทราบว่า
ปัญหาข้อนี้ ไม่มีทางสร้างได้เช่นเดียวกับข้อแรก และแน่นอนว่ามันเป็นเพียงข้อคาดเดา ยังไม่มีบทพิสูจน์ที่ชัดเจน
และเป็นคนเดิมที่สามารถพิสูจน์ได้อย่างเป็นทางการคือ Pierre Wantzel นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส นั่นเอง
________________________________________________________________
3. Squaring the circle
การสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้มีพื้นที่เท่ากับวงกลม
ปัญหานี้ น่าจะเป็นปัญหาที่ยากที่สุดในสามข้อเลยก็ว่าได้ (อาจเพราะเป็นข้อที่หาคำตอบได้เป็นข้อสุดท้ายนั่นเอง)
สำหรับปัญหานี้ นั่นก็คือการสร้างความยาว $\sqrt{\pi}$
เป็นคำถามที่ดูเข้าใจง่ายดีนะครับ เพราะว่านักคณิตศาสตร์นั้นรู้จักค่า $\pi$ กันดีอยู่แล้ว
ตั้งแต่สมัยของ Euclid (ซึ่งสามารถประมาณค่าได้ใกล้เคียงกับความจริงมากทีเดียว)
อย่างไรก็ดี ปัญหานี้ดูจะเป็นปัญหาน่าจะต้องใช้ความสามารถมากกว่าสองข้อแรก เพราะมีเงื่อนงำน้อยมาก
จึงเป็นปัญหาที่ท้าทายนักคณิตศาสตร์มาทุกยุคสมัย
จนกระทั่ง Ferndinand von Lindemann ได้พบข้อพิสูจน์อย่างเป็นทางการ
ว่าปัญหานี้ก็ไม่ต่างอะไรกับสองข้อแรก กล่าวคือคือไม่สามารถทำได้นั่นเอง
________________________________________________________________
เป็นอย่างไรบ้างครับ ทึ่งกับคำถาม ที่คนโบราณในยุคสองพันกว่าปีก่อน คิดขึ้นมาไหมครับ
แต่กว่าจะพิสูจน์กันได้ ก็เล่นเอาผ่านไปเป็นพันปีทีเดียว เรียกได้ว่า ต้องให้รุ่นเหลนโหลนหลานมาฟังเฉลยกันทีเดียว
แต่อย่างลืมนะครับว่า ปัญหาทั้งสามข้อนี้ ไม่สามารถสร้างได้ โดยใช้แค่ "วงเวียนและสันตรง" เท่านั้น
ไม่ได้บอกว่า ใช้เครื่องมืออื่น สร้างได้หรือไม่ได้นะครับ
ไว้โอกาสหน้า เราจะลองมาศึกษา วิธีอื่นๆที่นักคณิตศาสตร์ค้นหากันเพื่อแก้ปัญหาทั้งสามข้อนี้ครับ
