1.ให้ $a,b,c$ เเทนด้านสามเหลี่ยมใดๆ
จงเเสดงว่า $$\frac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}+\frac{b}{\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}}+\frac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge \sqrt{3}$$
ให้ $a^2+b^2+c^2=3$ จะได้อสมการใหม่เป็น
$$\frac{a}{\sqrt{2-a^2}}+\frac{b}{\sqrt{2-b^2}}+\frac{c}{\sqrt{2-c^2}} \geq 3$$
โดย Cauchy Schwarzt
$$\frac{a}{\sqrt{2-a^2}}+\frac{b}{\sqrt{2-b^2}}+\frac{c}{\sqrt{2-c^2}} \geq \frac{9}{a^3\sqrt{2-a^2}+b^3\sqrt{2-b^2}+c^3\sqrt{2-c^2}}$$ กลายเป็นว่าเราต้องพิสูจน์
$$3 \geq a^3\sqrt{2-a^2}+b^3\sqrt{2-b^2}+c^3\sqrt{2-c^2}$$ อสมการนั้นสมมูลกับ $$(a^4+b^4+c^3-3)^2 \geq 0$$
3.ให้ $a,b,c>0$ เเละ $abc=1$
จงเเสดงว่า
$$\frac{a}{b^2(c+a)(a+b)}+\frac{b}{c^2(a+b)(b+c)}+\frac{c}{a^2(c+a)(a+b)}\ge \frac{3}{4}
$$
แทน $a= \dfrac{1}{x},b=\dfrac{1}{y},c=\dfrac{1}{z}$ ได้ $$\dfrac{y^2}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{z^2}{(y+z)(y+x)}+\dfrac{x^2}{(z+x)(z+y)} \geq \dfrac{3}{4}$$
โดยอสมการ Cauchy จะได้ว่า $$\dfrac{y^2}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{z^2}{(y+z)(y+x)}+\dfrac{x^2}{(z+x)(z+y)} \geq \dfrac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+3(xy+yz+zx)} \geq \dfrac{3}{4}$$
ซึ่งเป็นจริง
|