[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

a,b,c,d>0 prove

$$ \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}} \geqslant \sqrt[3]{\frac{abc+abd+acd+bcd}{4}}$$

ข้อนี้สวยพอตัวนะครับ

Lemma: $(a+b+c+d)^3 \geq 16(abc+abd+acd+bcd)$

$a^3+b^3+c^3+d^3 \geq abc+abd+acd+bcd$

$ab^2+bc^2+ca^2 \geq 3 abc$

ที่เหลือก็ทำเหมือนกัน แล้วก็เอามาบวกกันครับ

ก็เอา lemma ที่ได้ไปแทนครับ ก็จะได้

$$\dfrac{a+b+c+d}{4} \geq \sqrt[3]{\frac{abc+abd+acd+bcd}{4}}$$

มันยังคงเหลือที่เราต้องพิสูจน์ว่า

$$\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}} \geq \dfrac{a+b+c+d}{4}$$

ซึ่งเป็นจริงตามอสมการโคชี