มัธยมต้น ตอนที่ 1
อ้างอิง:
5. จงหาสามหลักสุดท้ายของ $\displaystyle\sum_{k=0}^3 a^k+b^k+c^k$ เมื่อ กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นรากของสมการ
$$x^3-543x^2+2011x-2554=0$$
(เสนอโดย คุณ จูกัดเหลียง)
|
$a,b,c$ เป็นรากของสมการ จะได้
$(x-a)(x-b)(x-c) = 0$
$x^3-(a+b+c)x^2 +(ab+ac+bc)x -abc =0$ เทียบสปส กับ $x^3-543x^2+2011x-2554=0$ จะได้
$a+b+c = 543$ .....(1)
$ ab+ac+bc =2011$ .....(2)
$abc = 2554$ .....(3)
$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 +2(ab+ac+bc)$
$a^2+b^2+c^2 = 543^2 -2(2011) = 290827$ ...(4)
$(a+b+c)^3 = a^3+3 a^2 b+3 a^2 c+3 a b^2+6 a b c+3 a c^2+b^3+3 b^2 c+3 b c^2+c^3$
$543^3 = a^3+b^3+c^3 + 6abc + 3ab(a+b) + 3ac(a+c) +3bc(b+c)$
$160103007 = a^3+b^3+c^3 + 6abc + 3ab(543-c) + 3ac(543-b) +3bc(543-a)$
$160103007 = a^3+b^3+c^3 + 6abc + 3\cdot 543ab -3abc + 3\cdot 543ac -3abc +3\cdot 543bc -3abc$
$160103007 = a^3+b^3+c^3 - 3abc + 3\cdot 543(ab+bc+ca)$
$160103007 = a^3+b^3+c^3 - 3\cdot 2554 + 3\cdot 543(2011)$
$ a^3+b^3+c^3 = 160103007 + 7662 - 3275919 = 156834750$ ...(5)
$\displaystyle\sum_{k=0}^3 a^k+b^k+c^k = (a^3+b^3+c^3) + (a^2+b^2+c^2) + (a+b+c) +(a^0+b^0+c^0)$
$ = 156834750 +290827 +543 + 3 = 157126123$
สามหลักสุดท้ายคือ 123