[M@gpie]

ผมยกตัวอย่างไม่ค่อยดี เอาใหม่นะครับ ทีนี้เปลี่ยนฟังก์ชัน จะได้ไม่ขัดแย้งกับนิยาม $e$ ของพี่ warut
เป็น ส่วนปัญหาการใส่ค่าสัมบูรณ์นี่ผมพลาดอีกแล้วครับแต่ว่าก็ไม่มีผลบนช่วง x>0 ครับ ว่าจะแก้แล้วก็ลืม

เอาเป็นว่าดูตัวอย่างนี้ครับ จงหาค่าของ $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+}x^x}$
\[ \begin{array}{ccll} \mbox{Let} \; \; y &=& x^x, \; \; \; x>0&...........(1)\mbox{นิยาม y ขึ้นมาก่อนนะครับ} \\
\ln y &=& x\ln x, \; \; \; x>0& ...........(2) \mbox{ในขั้นนี้ใส่ $\ln$ เข้าไปยังไม่มีอะไรนะครับ}\\
\lim_{x\rightarrow 0^+}\ln y &=& \lim_{x\rightarrow 0^+} x\ln x \; \; \; x>0&...........(3)\mbox{ใส่ลิมิตทั้งสองข้าง}\\
\lim_{x\rightarrow 0^+} \ln y &=& 0 \; \; \; x>0& ...........(4) \mbox{หาค่าลิมิตฝั่งขวามือด้วยกฏของโลปิตาล} \\
\end{array}
\]
ต่อจากนี้ถ้าเราทำการสลับลิมิตเข้าไปในฟังก์ชัน $\ln$ ก็จะได้ว่า \[ \ln(\lim_{x\rightarrow 0^+} y) = 0 \]
ซึ่งตรงจุดนี้เกิดข้อโต้แย้งตรงที่ว่า ยังไม่มีอะไรการันตีได้ว่า $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+}} y$ หาค่าได้ จึงไม่สามารถสรุปได้ว่าจริง
วิธีที่ถูกต้องก็คือ เราสามารถใส่ exponential function เข้าไปทั้งสองข้างได้ \[ e^{\lim_{x\rightarrow 0^+}\ln y} = e^{0} = 1\]
ซึ่งสามารถทำการสลับลิมิต ออกมานอก e ได้ เนื่องจาก $e^x$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง \[ \lim_{x\rightarrow 0^+}e^{\ln y} = 1\]
แต่เราทราบว่า $e^{\ln y} = y$ จึงได้ว่า $\lim_{x\rightarrow 0^+} y $ มีจริง และมีค่าเท่ากับ 1

ในการทำแบบหลังนี้เราไม่ได้ตั้งข้อกำหนดที่ว่า y มีลิมิตไว้ก่อนแต่แสดงได้ว่ามีค่าเท่ากับ 1 นั่นคือ มีลิมิตจริง

ปล. ต้องขออภัยด้วยครับ ข้อเดียวแต่กระทู้ยาวยืด แหะๆๆ