อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pogpagasd
2.กำหนดให้ a,b,c,d และ a<b<c<d เป็นจำนวนนับ
$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})(1+\frac{1}{d})=4$
จงหา a,b,c,d ทั้งหมด
|
ข้อนี้ยากสุดแล้วครับในบรรดาข้อเติมคำตอบ
สังเกตว่า $4=(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})(1+\frac{1}{d})<(1+\frac{1}{a})^2(1+\frac{1}{b})^2$
ดังนั้น $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})>2$
จัดรูปได้ $(a-1)(b-1)<2$
จึงได้ $(a-1)(b-1)=0,1$
สุดท้ายใช้เงื่อนไข $a<b$ จะได้ $a=1$ เท่านั้น
ก็จะได้สมการ $(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})(1+\frac{1}{d})=2$
ต่อไปจะหาขอบเขตของ $b$ จาก
$2=(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})(1+\frac{1}{d})<(1+\frac{1}{b})^3$
จะได้ $b<\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1<5$
ถ้า $b=4$ จะได้ $c\geq 5, d\geq 6$ ดังนั้น
$(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})(1+\frac{1}{d})\leq \dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{6}{5}\cdot\dfrac{7}{6}=\dfrac{7}{4}<2$
ดังนั้น $b=2,3$ เท่านั้น แทนค่า $b$ แล้วแก้หา $c,d$ จะได้คำตอบทั้งหมดคือ
$(a,b,c,d)=(1,2,4,15), (1,2,5,9), (1,2,6,7), (1,3,4,5)$