อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง
Let $a,b,c>0$ Prove that $$\frac{a^3+b^3}{2c}+\frac{b^3+c^3}{2a}+\frac{c^3+a^3}{2b}\ge (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+(a^2+b^2+c^2)$$
|
$\displaystyle \frac{a^3+b^3}{2c}+\frac{b^3+c^3}{2a}+\frac{c^3+a^3}{2b} - a^2-b^2-c^2$
$\displaystyle =\frac{(a^3-c^3)+(b^3-c^3)}{2c}+\frac{(b^3-a^3)+(c^3-a^3)}{2a}+\frac{(c^3-b^3)+(a^3-b^3)}{2b}$
$\displaystyle = (b^3-a^3)(\frac{1}{2a}-\frac{1}{2b})+(c^3-b^3)(\frac{1}{2b}-\frac{1}{2c})+(a^3-c^3)(\frac{1}{2c}-\frac{1}{2a})$
$\displaystyle = (b-a)^2(\frac{a^2+ab+b^2}{2ab})+ (c-b)^2(\frac{b^2+bc+c^2}{2bc})+ (a-c)^2(\frac{c^2+ca+a^2}{2ca})$
$\displaystyle \ge \frac{3}{2} ((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)$
ก็จะได้ว่ามากกว่า $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ ด้วยครับ