[กิตติ]

ข้อ 18 ตอนที่ 2
แบบไม่ใช้มอดูลลัส
$N=3^2\times (1+11+111+...+\overbrace{111...111}^{2015})\times (1+11+111+...+\overbrace{111...111}^{2015}) $

ถ้าเขียนแต่ละพจน์ให้อยู่ในรูป $8P+r$ เมื่อ $r$ เป็นเศษของการหารด้วย 8
$N=(8+1)\times (8P+r)\times (8P+r)$
$=(8+1)\times (64P^2+16P+r^2)$
$=(8+1)\times (8(8P^2+2P)+r^2)$
$=64(8P^2+2P)+8r^2+8(8P^2+2P)+r^2$

พจน์ที่ไม่มีเลข 8 คือเศษจากการหาร $N$ ด้วย 8 ซึ่งก็คือ $r^2$
$1+11+111+...+\overbrace{111...111}^{2015}$
ถ้าลองเขียนใหม่จะได้ว่า
$(1\overbrace{00...000}^{2014})+2(1\overbrace{00...000}^{2013})+3(1\overbrace{00...000}^{2012})+4(1\overbrace{00...000}^{2011})+ ...+2012(1000)+2013(100)+2014(10)+2015(1) $
พิจารณา $1000=(2\times 5)^3=2^3\times 5^3$
นั่นแสดงว่าตั้งแต่ $1000$ ขึ้นไป จะมี $2^3$ เป็นตัวประกอบ
$(1\overbrace{00...000}^{2014})+2(1\overbrace{00...000}^{2013})+3(1\overbrace{00...000}^{2012})+4(1\overbrace{00...000}^{2011})+ ...+2012(1000)=8M$

$(1\overbrace{00...000}^{2014})+2(1\overbrace{00...000}^{2013})+3(1\overbrace{00...000}^{2012})+4(1\overbrace{00...000}^{2011})+ ...+2012(1000)+2013(100)+2014(10)+2015(1) $
$=8M+2013(100)+2014(10)+2015(1)$
$=8M+(8(251)+5)(8(12)+4)+(8(251)+6)(8(1)+2)+(8(251)+7)$
$=8M+(8\bigtriangleup +4)+(8\bigtriangledown+4)+(8(251)+7) $
$=8\bigcirc +7$

หรือจะกระจาย $2013(100)+2014(10)+2015(1)=201300+20140+2015=\left\{\,8(25162)+4\right\} +\left\{\,8(2517)+4\right\}+\left\{\,8(251)+7\right\} $
$=8(25162+2517+251)+4+4+7$
$=8(25162+2517+251)+8+7$
$=8(25162+2517+251+1)+7$

$1+11+111+...+\overbrace{111...111}^{2015}=8\bigcirc +7$
จะได้ว่า $r=7 \rightarrow r^2=49$
$r^2$ หารด้วย 8 เหลือเศษ 1
ดังนั้น $N=(3+33+333+...+\overbrace{333...333}^{2015})^2 $ หารด้วย 8 เหลือเศษคือ 1