[passer-by]

เพราะ incenter แบ่งครึ่งมุมยอด ดังนั้น อสมการนี้เทียบเท่ากับ $$ \frac{3}{4}+ \sin(\frac{A}{2})+ \sin(\frac{B}{2})+\sin(\frac{C}{2}) \leq \frac{1}{12}(\cot(\frac{A}{2})+ \cot(\frac{B}{2})+\cot(\frac{C}{2}))^2 $$

ฺั By Jensen's inequality (using concavity of sine function in first quadrant)

$ LHS \leq \frac{9}{4} $

และการพิสูจน์นี้จะสิ้นสุดเมื่อ สามารถแสดงได้ว่า $3\sqrt{3} \leq \cot(\frac{A}{2})+ \cot(\frac{B}{2}) + \cot(\frac{C}{2}) $

ซึ่ง อ้างได้จาก Jensen's inequality & convexity of cot function in first quadrant