[the__best__solution]

กำหนดสามเหลี่ยม $ABC$ $a\, b\, c $ เป็นด้านตรงข้ามมุม $A\, B\, C$ ตามลำดับ ให้ $O$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน ลากเส้นจากจุด $O$ ไปยังจุดสัมผัสวงกลมทั้งสาม ได้แก ่$D\, E\, F$ ซึ่งอยู่บนด้าน $AB\, BC\, CA$ ตามลำดับ
จะได้ว่า$AD = AF \, BD=BE \, CE=CF$ กำหนดให้ $AD=x\, BE=y\, CF=z$ จะได้ว่า $a=x+y\, b=y+z\, c=z+x$
จากสูตรของสามเหลี่ยมได้ว่า $ r = area/s =$ $\frac{\sqrt {xyz}}{\sqrt{x+y+z}}$
พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก $AOD$ ได้ว่า $ s_a=\sqrt{ x^2 + r^2 } =$ $\sqrt{x^2 +\frac{xyz}{x+y+z}}$ $=$ $\frac{\sqrt{(x) (x+y) (x+z)}}{\sqrt{x+y+z}}$ จะได้ว่า $\frac{r}{s_a}$ $=$ $\sqrt{\frac{yz}{(x+y)(x+z)}}$
ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า $\frac{r}{s_b}$ $=$ $\sqrt{\frac{xz}{(x+y)(y+z)}}$
$\frac{r}{s_b}$ $=$ $\sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}}$
และได้ว่า $\frac{s^2}{12r^2}$ $=$ $\frac{(x+y+z)^3}{12xyz}$
ดังนั้นอสมการสมมูลกับ
$\frac{3}{4}$ $+$ $\sqrt{\frac{xz}{(x+y)(y+z)}}$ $+$ $\sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}}$ $+$ $\sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}}$ $\leq$ $\frac{(x+y+z)^3}{12xyz}$
โดยอสมการโคชี่จะได้ว่า
$\frac{3}{4}$ $+$ $\sqrt{\frac{xz}{(x+y)(y+z)}}$ $+$ $\sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}}$ $+$ $\sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}}$
$\leq$ $\frac{3}{4}$ $+$ $\frac{x}{y+z}$ $+$ $\frac{y}{x+z}$ $+$ $\frac{z}{x+y}$
$\leq$ $\frac{3}{4}$ $+$ $\frac{1}{4}$ $\frac{y+z}{x}$ $+$ $\frac{x+z}{y}$ $+$ $\frac{x+y}{z}$
เพียงพอที่จะแสดงว่า
$\frac{3}{4}$ $+$ $\frac{1}{4}$ $\frac{y+z}{x}$ $+$ $\frac{x+z}{y}$ $+$ $\frac{x+y}{z}$ $\leq$ $\frac{(x+y+z)^3}{12xyz}$
ซึ่งอสมการสมมูลกับ
$x^3$ $+$ $y^3$ $+$ $z^3$ $\geq$ $3xyz$
ซึ่งเป็นจริงโดยอสมการ A.M.-G.M.

ส่วนsolution ของคุณ passer-by ก็โอเคครับ