[nongtum]

ข้อ 10 (คิดตั้งนาน กว่าจะรู้ว่าใช้ทฤษฎีที่เพิ่งเรียนมาใช้ได้ ใครที่ทำง่ายกว่านี้ หรือหาที่ผิดเจอ ช่วยบอกด้วยนะครับ)

Solution

เนื่องจาก (2²⁰⁰⁵,เลขคี่)=1 เราจะได้จาก Euler theorem (\(m \in \mathbb{N}, a\in \mathbb{Z}, (a,m)=1 \rightarrow {a^{\varphi(m)}\equiv 1 (mod\ m)} \)) เมื่อ a เป็นเลขคี่ว่า
\[a^{2^{2004}}\equiv 1 (mod\ 2^{2005})\]
ดังนั้น \[a^{2^{2005}}=a^{2^{2004}}a^{2^{2004}}\equiv 1 (mod\ 2^{2005})\]
และ \[a^{2005\cdot{2^{2005}}} \equiv 1 (mod\ 2^{2005})\]
เนื่องจาก \({2^{2005}|(2n)^{2005\cdot{2^{2005}}}}\)ดังนั้น \[\sum_{k=1}^{2005}k^{2005\cdot{2^{2005}}} \equiv \sum_{n=1}^{1003}(2n-1)^{2005\cdot{2^{2005}}} \equiv 1003\ (mod\ 2^{2005})
\]

ตอนนี้คงเหลือแต่โจทย์แนว combinatorics ละมังครับ ^_^