[จูกัดเหลียง]

ตรงหน้า อสมการนะครับ

1.เนื่องจาก $x,y,z\ge 2$ จะพบว่า $x^3+y\ge 5x$ เนื่องจาก $x^3+y\ge x^3+2$ และ $x^3+2\ge 5x\leftrightarrow (x+1-\sqrt{2})(x+1+\sqrt{2})(x-2)\ge 0$

ซึ่งจริงเพราะ $x\ge 2$ จากนั้นก็นำทั้งสามอสมการมาคูณกันครับ ก็จะได้ $(x^3+y)(y^3+z)(z^3+x)\ge 5x\cdot 5y\cdot 5z=125xyz$

2. สมมุติ $\dfrac{a_i}{b_i}=\min\left\{\,\dfrac{a_1}{b_1},\dfrac{a_2}{b_2},...\dfrac{a_n}{b_n}\right\} $ เราจะได้ว่า $a_ib_j\le a_jb_i$ สำหรับทุก $j=1,2,...n$

ดังนั้น $a_ib_1+a_ib_2+...+a_ib_n\le a_1b_i+a_2b_i+...+a_nb_i$ ก็จะได้ว่า $$\frac{a_i}{b_i}=\min\left\{\,\dfrac{a_1}{b_1},\dfrac{a_2}{b_2},...\dfrac{a_n}{b_n}\right\} \le \frac{a_1+a_2+...+a_n}{b_1+b_2+...+b_n}$$ ตามต้องการครับ

3. เคยมีคนเฉลยเเล้วเเถวๆนี้เเหละครับ

4.เเทน $a=x+y,b=y+z,c=z+x$ จะได้ $s=x+y+z$ และอสมการที่ต้องการพิสูจน์เปลี่ยนรูปเป็น $$\frac{2(x+y)(x+y-z)}{x+y+2z}+\frac{2(y+z)(y+z-x)}{y+z+2x}+\frac{2(z+x)(z+x-y)}{z+x+2y}\ge x+y+z$$
ซึ่งสมมูลกับ $\displaystyle 2\sum_{cyc} \frac{(x+y)^2}{x+y+2z}+\sum_{cyc}\frac{(2z)^2}{x+y+2z}\ge 3(x+y+z)$

ซึ่งเป็นจริงจาก Cauchy-Shwraz inequality นั่นเองครับ